微分積分例

$f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 1 & x < 1 \\ 2 & x = 1 \\ 7 - 5 x & x > 1 \end{cases}$

ステップ 1

$x$ が $1$ に左から近づくときの $x^{2} + 1$ 極限を求めます。

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ステップ 1.1

両側極限を左側極限に変えます。

$lim_{x \to 1^{-}} x^{2} + 1$

ステップ 1.2

極限を求めます。

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ステップ 1.2.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to 1^{-}} x^{2} + lim_{x \to 1^{-}} 1$

ステップ 1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

${(lim_{x \to 1^{-}} x)}^{2} + lim_{x \to 1^{-}} 1$

ステップ 1.2.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

${(lim_{x \to 1^{-}} x)}^{2} + 1$

ステップ 1.3

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$1^{2} + 1$

ステップ 1.4

答えを簡約します。

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ステップ 1.4.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 1$

ステップ 1.4.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$2$

ステップ 2

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$2$

ステップ 3

$x$ が左から $1$ に左から近づくときの $x^{2} + 1$ の極限が、 $x = 1$ における関数の値に等しいので、関数は $x = 1$ において連続です。

連続

ステップ 4

$x$ が $1$ に右から近づくときの $7 - 5 x$ 極限を求めます。

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ステップ 4.1

両側極限を右側極限に変えます。

$lim_{x \to 1^{+}} 7 - 5 x$

ステップ 4.2

極限を求めます。

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ステップ 4.2.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to 1^{+}} 7 - lim_{x \to 1^{+}} 5 x$

ステップ 4.2.2

$x$ が $1$ に近づくと定数である $7$ の極限値を求めます。

$7 - lim_{x \to 1^{+}} 5 x$

ステップ 4.2.3

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$7 - 5 lim_{x \to 1^{+}} x$

ステップ 4.3

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$7 - 5 \cdot 1$

ステップ 4.4

答えを簡約します。

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ステップ 4.4.1

$- 5$ に $1$ をかけます。

$7 - 5$

ステップ 4.4.2

$7$ から $5$ を引きます。

$2$

ステップ 5

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$2$

ステップ 6

$x$ が $1$ に右から近づくときの $7 - 5 x$ の極限が、 $x = 1$ における関数の値に等しいので、関数は $x = 1$ において連続です。

連続

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例