代数例

$(3 x + 10) (2 x^{2} + 1) (2 - x) > 0$

ステップ 1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x + 10 = 0$

$2 x^{2} + 1 = 0$

$2 - x = 0$

ステップ 2

$3 x + 10$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$3 x + 10$ が $0$ に等しいとします。

$3 x + 10 = 0$

ステップ 2.2

$x$ について $3 x + 10 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

方程式の両辺から $10$ を引きます。

$3 x = - 10$

ステップ 2.2.2

$3 x = - 10$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$3 x = - 10$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 10}{3}$

ステップ 2.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 10}{3}$

ステップ 2.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 10}{3}$

ステップ 2.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{10}{3}$

ステップ 3

$2 x^{2} + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 x^{2} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x^{2} + 1 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $2 x^{2} + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x^{2} = - 1$

ステップ 3.2.2

$2 x^{2} = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$2 x^{2} = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.2.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

ステップ 3.2.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

ステップ 3.2.4

$\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$- \frac{1}{2}$ を $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ に書き換えます。

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ステップ 3.2.4.1.1

$- 1$ を $i^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

ステップ 3.2.4.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

ステップ 3.2.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

ステップ 3.2.4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 3.2.4.4

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.2.4.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.2.4.6

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

ステップ 3.2.4.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.2.4.7.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.2.4.7.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 3.2.4.7.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 3.2.4.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.2.4.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 3.2.4.7.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 3.2.4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.2.4.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.2.4.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.4.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.2.4.7.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 3.2.4.7.6.5

指数を求めます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.2.4.8

$i$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4

$2 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$2 - x$ が $0$ に等しいとします。

$2 - x = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $2 - x = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- x = - 2$

ステップ 4.2.2

$- x = - 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$- x = - 2$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 4.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.3.1

$- 2$ を $- 1$ で割ります。

$x = 2$

ステップ 5

最終解は $(3 x + 10) (2 x^{2} + 1) (2 - x) > 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{10}{3}, \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}, 2$

ステップ 6

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \frac{10}{3}$

$- \frac{10}{3} < x < 2$

$x > 2$

ステップ 7

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 7.1

区間 $x < - \frac{10}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.1.1

区間 $x < - \frac{10}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 7.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$(3 (- 6) + 10) (2 {(- 6)}^{2} + 1) (2 - (- 6)) > 0$

ステップ 7.1.3

左辺 $- 4672$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 7.2

区間 $- \frac{10}{3} < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.2.1

区間 $- \frac{10}{3} < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 7.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$(3 (0) + 10) (2 {(0)}^{2} + 1) (2 - (0)) > 0$

ステップ 7.2.3

左辺 $20$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 7.3

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.3.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 7.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$(3 (4) + 10) (2 {(4)}^{2} + 1) (2 - (4)) > 0$

ステップ 7.3.3

左辺 $- 1452$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 7.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \frac{10}{3}$ 偽

$- \frac{10}{3} < x < 2$ 真

$x > 2$ 偽

$x < - \frac{10}{3}$ 偽

$- \frac{10}{3} < x < 2$ 真

$x > 2$ 偽

ステップ 8

解はすべての真の区間からなります。

$- \frac{10}{3} < x < 2$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$- \frac{10}{3} < x < 2$

区間記号：

$(- \frac{10}{3}, 2)$

ステップ 10

代数 例

代数例