代数例

$0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$0.5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $0.5 x^{2}$ の微分係数は $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0.5 (2 x) + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $0.5$ をかけます。

$1 x + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

ステップ 1.2.4

$x$ に $1$ をかけます。

$x + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [23 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$23$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $23 x$ の微分係数は $23 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x + 23 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x + 23 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

ステップ 1.3.3

$23$ に $1$ をかけます。

$x + 23 + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

ステップ 1.4

$- 216$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 216$ の微分係数は $0$ です。

$x + 23 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

ステップ 1.5

$\frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$2600$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2600}{x}$ の微分係数は $2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.5.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.5.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x + 23 + 0 + 2600 (- x^{- 2})$

ステップ 1.5.4

$- 1$ に $2600$ をかけます。

$x + 23 + 0 - 2600 x^{- 2}$

ステップ 1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x + 23 + 0 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.6.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.2.1

$x + 23$ と $0$ をたし算します。

$x + 23 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.6.2.2

$- 2600$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$x + 23 + \frac{- 2600}{x^{2}}$

ステップ 1.6.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$x + 23 - \frac{2600}{x^{2}}$

ステップ 1.6.3

項を並べ替えます。

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2600}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [23]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{2600}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (23)$

ステップ 2.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{2600}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (23)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{2600}{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 2600$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2600}{x^{2}}$ の微分係数は $- 2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$f'' (x) = 1 - 2600 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (23)$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 1 - 2600 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (23)$

ステップ 2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$f'' (x) = 1 - 2600 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (23)$

ステップ 2.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 1 - 2600 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (23)$

ステップ 2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = 1 - 2600 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (23)$

ステップ 2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 1 - 2600 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

ステップ 2.2.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 1 - 2600 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

ステップ 2.2.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 1 - 2600 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

ステップ 2.2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (23)$

ステップ 2.2.7

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (23)$

ステップ 2.2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (23)$

ステップ 2.2.9

$1$ から $4$ を引きます。

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (23)$

ステップ 2.2.10

$- 2$ に $- 2600$ をかけます。

$f'' (x) = 1 + 5200 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (23)$

ステップ 2.3

$23$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $23$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 1 + 5200 x^{- 3} + 0$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = 1 + 5200 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$5200$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = 1 + \frac{5200}{x^{3}} + 0$

ステップ 2.4.2.2

$1 + \frac{5200}{x^{3}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 1 + \frac{5200}{x^{3}}$

ステップ 2.4.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{5200}{x^{3}} + 1$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (0.5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$0.5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $0.5 x^{2}$ の微分係数は $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 0.5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 0.5 (2 x) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $0.5$ をかけます。

$f' (x) = 1 x + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

ステップ 4.1.2.4

$x$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [23 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$23$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $23 x$ の微分係数は $23 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = x + 23 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x + 23 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

ステップ 4.1.3.3

$23$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x + 23 + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

ステップ 4.1.4

$- 216$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 216$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = x + 23 + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

ステップ 4.1.5

$\frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$2600$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2600}{x}$ の微分係数は $2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

ステップ 4.1.5.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

ステップ 4.1.5.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 (- x^{- 2})$

ステップ 4.1.5.4

$- 1$ に $2600$ をかけます。

$f' (x) = x + 23 + 0 - 2600 x^{- 2}$

ステップ 4.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = x + 23 + 0 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 4.1.6.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.2.1

$x + 23$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = x + 23 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 4.1.6.2.2

$- 2600$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = x + 23 + \frac{- 2600}{x^{2}}$

ステップ 4.1.6.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = x + 23 - \frac{2600}{x^{2}}$

ステップ 4.1.6.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$ です。

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$

ステップ 5.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x \approx 9.01216529$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{2600}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 6.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 6.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 9.01216529$

ステップ 8

$x = 9.01216529$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{5200}{{(9.01216529)}^{3}} + 1$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$9.01216529$ を $3$ 乗します。

$\frac{5200}{731.96016423} + 1$

ステップ 9.1.2

$5200$ を $731.96016423$ で割ります。

$7.10421175 + 1$

ステップ 9.2

$7.10421175$ と $1$ をたし算します。

$8.10421175$

ステップ 10

$x = 9.01216529$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 9.01216529$ は極小値です

ステップ 11

$x = 9.01216529$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $9.01216529$ で置換えます。

$f (9.01216529) = 0.5 {(9.01216529)}^{2} + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$9.01216529$ を $2$ 乗します。

$f (9.01216529) = 0.5 \cdot 81.21912329 + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

ステップ 11.2.1.2

$0.5$ に $81.21912329$ をかけます。

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

ステップ 11.2.1.3

$23$ に $9.01216529$ をかけます。

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 207.27980177 - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

ステップ 11.2.1.4

$2600$ を $9.01216529$ で割ります。

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 207.27980177 - 216 + 288.49892506$

ステップ 11.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$40.60956164$ と $207.27980177$ をたし算します。

$f (9.01216529) = 247.88936342 - 216 + 288.49892506$

ステップ 11.2.2.2

$247.88936342$ から $216$ を引きます。

$f (9.01216529) = 31.88936342 + 288.49892506$

ステップ 11.2.2.3

$31.88936342$ と $288.49892506$ をたし算します。

$f (9.01216529) = 320.38828848$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $320.38828848$ です。

$y = 320.38828848$

ステップ 12

$f (x) = 0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$ の極値です。

$(9.01216529, 320.38828848)$ は極小値です

ステップ 13

代数 例

代数例