代数例

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 5}$

ステップ 1

$\sqrt{x - 5}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式を $\sqrt{x - 5} = f^{- 1} x$ として書き換えます。

$\sqrt{x - 5} = f^{- 1} x$

ステップ 1.2

$f^{- 1} x$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\sqrt{x - 5} = \frac{1}{f} x$

ステップ 1.2.2

$\frac{1}{f}$ と $x$ をまとめます。

$\sqrt{x - 5} = \frac{x}{f}$

ステップ 2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x - 5}}^{2} = {(\frac{x}{f})}^{2}$

ステップ 3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x - 5}$ を ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{f})}^{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{f})}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{f})}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x - 5)}^{1} = {(\frac{x}{f})}^{2}$

ステップ 3.2.1.2

簡約します。

$x - 5 = {(\frac{x}{f})}^{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

積の法則を $\frac{x}{f}$ に当てはめます。

$x - 5 = \frac{x^{2}}{f^{2}}$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

両辺に $f^{2}$ を掛けます。

$(x - 5) f^{2} = \frac{x^{2}}{f^{2}} f^{2}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$(x - 5) f^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$x f^{2} - 5 f^{2} = \frac{x^{2}}{f^{2}} f^{2}$

ステップ 4.2.1.1.2

$x$ と $f^{2}$ を並べ替えます。

$f^{2} x - 5 f^{2} = \frac{x^{2}}{f^{2}} f^{2}$

ステップ 4.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$f^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$f^{2} x - 5 f^{2} = \frac{x^{2}}{f^{2}} f^{2}$

ステップ 4.2.2.1.2

式を書き換えます。

$f^{2} x - 5 f^{2} = x^{2}$

ステップ 4.3

$x$ について解きます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$f^{2} x - 5 f^{2} - x^{2} = 0$

ステップ 4.3.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.3.3

$a = - 1$ 、 $b = f^{2}$ 、および $c = - 5 f^{2}$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- f^{2} \pm \sqrt{{(f^{2})}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- 5 f^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.4

簡約します。

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ステップ 4.3.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1.1

${(f^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2 \cdot 2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.4.1.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.4.1.2

$- 4 \cdot - 1 \cdot - 5$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1.2.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} + 4 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.4.1.2.2

$4$ に $- 5$ をかけます。

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.4.1.3

$f^{2}$ を $f^{4} - 20 f^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1.3.1

$f^{2}$ を $f^{4}$ で因数分解します。

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.4.1.3.2

$f^{2}$ を $- 20 f^{2}$ で因数分解します。

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.4.1.3.3

$f^{2}$ を $f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20$ で因数分解します。

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} (f^{2} - 20)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.4.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$

ステップ 4.3.4.3

$\frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$ を簡約します。

$x = \frac{f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

ステップ 4.3.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 4.3.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1.1

${(f^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.5.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2 \cdot 2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.5.1.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.5.1.2

$- 4 \cdot - 1 \cdot - 5$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1.2.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} + 4 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.5.1.2.2

$4$ に $- 5$ をかけます。

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.5.1.3

$f^{2}$ を $f^{4} - 20 f^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1.3.1

$f^{2}$ を $f^{4}$ で因数分解します。

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.5.1.3.2

$f^{2}$ を $- 20 f^{2}$ で因数分解します。

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.5.1.3.3

$f^{2}$ を $f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20$ で因数分解します。

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} (f^{2} - 20)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.5.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.5.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$

ステップ 4.3.5.3

$\frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$ を簡約します。

$x = \frac{f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

ステップ 4.3.5.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{f^{2} + f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

ステップ 4.3.5.5

$f$ を $f^{2} + f \sqrt{f^{2} - 20}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.5.1

$f$ を $f^{2}$ で因数分解します。

$x = \frac{f \cdot f + f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

ステップ 4.3.5.5.2

$f$ を $f \sqrt{f^{2} - 20}$ で因数分解します。

$x = \frac{f \cdot f + f (\sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

ステップ 4.3.5.5.3

$f$ を $f \cdot f + f (\sqrt{f^{2} - 20})$ で因数分解します。

$x = \frac{f (f + \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

ステップ 4.3.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 4.3.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.1.1

${(f^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2 \cdot 2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.6.1.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.6.1.2

$- 4 \cdot - 1 \cdot - 5$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.1.2.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} + 4 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.6.1.2.2

$4$ に $- 5$ をかけます。

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.6.1.3

$f^{2}$ を $f^{4} - 20 f^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.1.3.1

$f^{2}$ を $f^{4}$ で因数分解します。

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.6.1.3.2

$f^{2}$ を $- 20 f^{2}$ で因数分解します。

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.6.1.3.3

$f^{2}$ を $f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20$ で因数分解します。

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} (f^{2} - 20)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.6.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$

ステップ 4.3.6.3

$\frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$ を簡約します。

$x = \frac{f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

ステップ 4.3.6.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{f^{2} - f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

ステップ 4.3.6.5

$f$ を $f^{2} - f \sqrt{f^{2} - 20}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.5.1

$f$ を $f^{2}$ で因数分解します。

$x = \frac{f \cdot f - f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

ステップ 4.3.6.5.2

$f$ を $- f \sqrt{f^{2} - 20}$ で因数分解します。

$x = \frac{f \cdot f + f (- \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

ステップ 4.3.6.5.3

$f$ を $f \cdot f + f (- \sqrt{f^{2} - 20})$ で因数分解します。

$x = \frac{f (f - \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

ステップ 4.3.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{f (f + \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

$x = \frac{f (f - \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

$x = \frac{f (f + \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

$x = \frac{f (f - \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

$x = \frac{f (f + \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

$x = \frac{f (f - \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

ステップ 5

$f$ の関数として書き換えるために、方程式を書き、等号の一辺に $x$ が単独であり、もう一辺に $f$ だけを含む式が来るようにします。

$f (f) = \frac{f (f + \sqrt{f^{2} - 20})}{2}, \frac{f (f - \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

代数 例

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