代数例

$\frac{y^{3} - y^{2} + 8 y - 5}{y - 7}$

ステップ 1

$f (y) = y^{3} - y^{2} + 8 y - 5$ および $g (y) = y - 7$ のとき、 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ は $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(y - 7) \frac{d}{d y} [y^{3} - y^{2} + 8 y - 5] - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $y^{3} - y^{2} + 8 y - 5$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [8 y] + \frac{d}{d y} [- 5]$ です。

$\frac{(y - 7) (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [8 y] + \frac{d}{d y} [- 5]) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [8 y] + \frac{d}{d y} [- 5]) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 3

$\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [8 y] + \frac{d}{d y} [- 5]) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - (2 y) + \frac{d}{d y} [8 y] + \frac{d}{d y} [- 5]) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + \frac{d}{d y} [8 y] + \frac{d}{d y} [- 5]) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 4

$\frac{d}{d y} [8 y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$8$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $8 y$ の微分係数は $8 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 5]) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 4.3

$8$ に $1$ をかけます。

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8 + \frac{d}{d y} [- 5]) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 5$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8 + 0) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 5.2

$3 y^{2} - 2 y + 8$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 5.3

総和則では、 $y - 7$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 7]$ です。

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) (1 + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 5.5

$- 7$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) (1 + 0)}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 5.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8) + (- y^{3} - - y^{2} - (8 y) - - 5) \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8) - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8)$ を展開します。

$\frac{y (3 y^{2}) + y (- 2 y) + y \cdot 8 - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 6.3.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 y \cdot y^{2} + y (- 2 y) + y \cdot 8 - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 6.3.1.2.2

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.2.2.1

$y^{2}$ を移動させます。

$\frac{3 (y^{2} y) + y (- 2 y) + y \cdot 8 - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 6.3.1.2.2.2

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.2.2.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 (y^{2} y^{1}) + y (- 2 y) + y \cdot 8 - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 6.3.1.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 y^{2 + 1} + y (- 2 y) + y \cdot 8 - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 6.3.1.2.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 y^{3} + y (- 2 y) + y \cdot 8 - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 6.3.1.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 y^{3} - 2 y \cdot y + y \cdot 8 - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 6.3.1.2.4

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.2.4.1

$y$ を移動させます。

$\frac{3 y^{3} - 2 (y \cdot y) + y \cdot 8 - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 6.3.1.2.4.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{3 y^{3} - 2 y^{2} + y \cdot 8 - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 6.3.1.2.5

$8$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{3 y^{3} - 2 y^{2} + 8 \cdot y - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 6.3.1.2.6

$3$ に $- 7$ をかけます。

$\frac{3 y^{3} - 2 y^{2} + 8 y - 21 y^{2} - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 6.3.1.2.7

$- 2$ に $- 7$ をかけます。

$\frac{3 y^{3} - 2 y^{2} + 8 y - 21 y^{2} + 14 y - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 6.3.1.2.8

$- 7$ に $8$ をかけます。

$\frac{3 y^{3} - 2 y^{2} + 8 y - 21 y^{2} + 14 y - 56 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 6.3.1.3

$- 2 y^{2}$ から $21 y^{2}$ を引きます。

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 8 y + 14 y - 56 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 6.3.1.4

$8 y$ と $14 y$ をたし算します。

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 6.3.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 - y^{3} - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 6.3.1.6

$- - y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 - y^{3} + 1 y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 6.3.1.6.2

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 - y^{3} + y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 6.3.1.7

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 - y^{3} + y^{2} - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 6.3.1.8

$8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 - y^{3} + y^{2} - 8 y \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 6.3.1.9

$- 8$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 - y^{3} + y^{2} - 8 y - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 6.3.1.10

$- - 5 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.10.1

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 - y^{3} + y^{2} - 8 y + 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 6.3.1.10.2

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 - y^{3} + y^{2} - 8 y + 5}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 6.3.2

$3 y^{3}$ から $y^{3}$ を引きます。

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 + y^{2} - 8 y + 5}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 6.3.3

$- 23 y^{2}$ と $y^{2}$ をたし算します。

$\frac{2 y^{3} - 22 y^{2} + 22 y - 56 - 8 y + 5}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 6.3.4

$22 y$ から $8 y$ を引きます。

$\frac{2 y^{3} - 22 y^{2} + 14 y - 56 + 5}{{(y - 7)}^{2}}$

ステップ 6.3.5

$- 56$ と $5$ をたし算します。

$\frac{2 y^{3} - 22 y^{2} + 14 y - 51}{{(y - 7)}^{2}}$

代数 例

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