代数例

$3 - \frac{\sqrt{21}}{3}$ , $3 + \frac{\sqrt{21}}{3}$

ステップ 1

$x = 3 - \frac{\sqrt{21}}{3}$ と $x = 3 + \frac{\sqrt{21}}{3}$ は、二次方程式の2つの真の解です。つまり、 $x - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3}$ と $x - 3 + \frac{\sqrt{21}}{3}$ は二次方程式の因数です。

$(x - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3}) (x - 3 + \frac{\sqrt{21}}{3}) = 0$

ステップ 2

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3}) (x - 3 + \frac{\sqrt{21}}{3})$ を展開します。

$x \cdot x + x \cdot - 3 + x (\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3 x - 3 \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} x - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

$x \cdot x + x \cdot - 3 + x \frac{\sqrt{21}}{3} - 3 x - 3 \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} x - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.1.1

$x \frac{\sqrt{21}}{3}$ と $- \frac{\sqrt{21}}{3} x$ について因数を並べ替えます。

$x \cdot x + x \cdot - 3 + \frac{\sqrt{21}}{3} x - 3 x - 3 \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} x - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

ステップ 3.1.2

$\frac{\sqrt{21}}{3} x$ から $\frac{\sqrt{21}}{3} x$ を引きます。

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 0 - 3 x - 3 \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

ステップ 3.1.3

$x \cdot x + x \cdot - 3$ と $0$ をたし算します。

$x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

ステップ 3.2.2

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

ステップ 3.2.3

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - 3 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

ステップ 3.2.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.4.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 + 3 (- 1) (\frac{\sqrt{21}}{3}) - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

ステップ 3.2.4.2

共通因数を約分します。

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 + 3 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{21}}{3}) - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

ステップ 3.2.4.3

式を書き換えます。

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - 1 \sqrt{21} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

ステップ 3.2.5

$- 1 \sqrt{21}$ を $- \sqrt{21}$ に書き換えます。

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

ステップ 3.2.6

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.6.1

$- \frac{\sqrt{21}}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \frac{- \sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

ステップ 3.2.6.2

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \frac{- \sqrt{21}}{3} \cdot (3 (- 1)) - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

ステップ 3.2.6.3

共通因数を約分します。

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \frac{- \sqrt{21}}{3} \cdot (3 \cdot - 1) - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

ステップ 3.2.6.4

式を書き換えます。

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} - \sqrt{21} \cdot - 1 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

ステップ 3.2.7

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + 1 \sqrt{21} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

ステップ 3.2.8

$\sqrt{21}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

ステップ 3.2.9

$- \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.9.1

$\frac{\sqrt{21}}{3}$ に $\frac{\sqrt{21}}{3}$ をかけます。

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{\sqrt{21} \sqrt{21}}{3 \cdot 3} = 0$

ステップ 3.2.9.2

$\sqrt{21}$ を $1$ 乗します。

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{\sqrt{21} \sqrt{21}}{3 \cdot 3} = 0$

ステップ 3.2.9.3

$\sqrt{21}$ を $1$ 乗します。

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{\sqrt{21} \sqrt{21}}{3 \cdot 3} = 0$

ステップ 3.2.9.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} = 0$

ステップ 3.2.9.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3 \cdot 3} = 0$

ステップ 3.2.9.6

$3$ に $3$ をかけます。

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{{\sqrt{21}}^{2}}{9} = 0$

ステップ 3.2.10

${\sqrt{21}}^{2}$ を $21$ に書き換えます。

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ステップ 3.2.10.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{21}$ を $21^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} = 0$

ステップ 3.2.10.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} = 0$

ステップ 3.2.10.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{21^{\frac{2}{2}}}{9} = 0$

ステップ 3.2.10.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.10.4.1

共通因数を約分します。

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{21^{\frac{2}{2}}}{9} = 0$

ステップ 3.2.10.4.2

式を書き換えます。

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{21}{9} = 0$

ステップ 3.2.10.5

指数を求めます。

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{21}{9} = 0$

ステップ 3.2.11

$21$ と $9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.11.1

$3$ を $21$ で因数分解します。

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{3 (7)}{9} = 0$

ステップ 3.2.11.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.11.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} = 0$

ステップ 3.2.11.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} = 0$

ステップ 3.2.11.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{7}{3} = 0$

ステップ 3.3

項を加えて簡約します。

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ステップ 3.3.1

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{7}{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.3.1.1

$- \sqrt{21}$ と $\sqrt{21}$ をたし算します。

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 + 0 - \frac{7}{3} = 0$

ステップ 3.3.1.2

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \frac{7}{3} = 0$

ステップ 3.3.2

$- 3 x$ から $3 x$ を引きます。

$x^{2} - 6 x + 9 - \frac{7}{3} = 0$

ステップ 4

$9$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x^{2} - 6 x + 9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{7}{3} = 0$

ステップ 5

$9$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x^{2} - 6 x + \frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{7}{3} = 0$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$x^{2} - 6 x + \frac{9 \cdot 3 - 7}{3} = 0$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$9$ に $3$ をかけます。

$x^{2} - 6 x + \frac{27 - 7}{3} = 0$

ステップ 7.2

$27$ から $7$ を引きます。

$x^{2} - 6 x + \frac{20}{3} = 0$

ステップ 8

与えられた解の集合 ${3 - \frac{\sqrt{21}}{3}, 3 + \frac{\sqrt{21}}{3}}$ を利用した標準二次方程式は $y = x^{2} - 6 x + \frac{20}{3}$ です。

$y = x^{2} - 6 x + \frac{20}{3}$

ステップ 9

代数 例

代数例