代数例

$\frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(x - 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $C$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(x - 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{C}{x - 1}$

ステップ 1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は ${(x - 1)}^{3}$ です。

$\frac{2 x {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{3}} = \frac{(A) {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x - 1)}^{3}}{x - 1}$

ステップ 1.5

${(x - 1)}^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{3}} = \frac{(A) {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x - 1)}^{3}}{x - 1}$

ステップ 1.5.2

$2 x$ を $1$ で割ります。

$2 x = \frac{(A) {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x - 1)}^{3}}{x - 1}$

ステップ 1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

${(x - 1)}^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1.1

共通因数を約分します。

$2 x = \frac{A {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x - 1)}^{3}}{x - 1}$

ステップ 1.6.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$2 x = A + \frac{(B) {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x - 1)}^{3}}{x - 1}$

ステップ 1.6.2

${(x - 1)}^{3}$ と ${(x - 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.2.1

${(x - 1)}^{2}$ を $(B) {(x - 1)}^{3}$ で因数分解します。

$2 x = A + \frac{{(x - 1)}^{2} (B (x - 1))}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x - 1)}^{3}}{x - 1}$

ステップ 1.6.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.2.2.1

$1$ を掛けます。

$2 x = A + \frac{{(x - 1)}^{2} (B (x - 1))}{{(x - 1)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{3}}{x - 1}$

ステップ 1.6.2.2.2

共通因数を約分します。

$2 x = A + \frac{{(x - 1)}^{2} (B (x - 1))}{{(x - 1)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{3}}{x - 1}$

ステップ 1.6.2.2.3

式を書き換えます。

$2 x = A + \frac{B (x - 1)}{1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{3}}{x - 1}$

ステップ 1.6.2.2.4

$B (x - 1)$ を $1$ で割ります。

$2 x = A + B (x - 1) + \frac{(C) {(x - 1)}^{3}}{x - 1}$

ステップ 1.6.3

分配則を当てはめます。

$2 x = A + B x + B \cdot - 1 + \frac{(C) {(x - 1)}^{3}}{x - 1}$

ステップ 1.6.4

$- 1$ を $B$ の左に移動させます。

$2 x = A + B x - 1 \cdot B + \frac{(C) {(x - 1)}^{3}}{x - 1}$

ステップ 1.6.5

$- 1 B$ を $- B$ に書き換えます。

$2 x = A + B x - B + \frac{(C) {(x - 1)}^{3}}{x - 1}$

ステップ 1.6.6

${(x - 1)}^{3}$ と $x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.6.1

$x - 1$ を $(C) {(x - 1)}^{3}$ で因数分解します。

$2 x = A + B x - B + \frac{(x - 1) (C {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

ステップ 1.6.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.6.2.1

$1$ を掛けます。

$2 x = A + B x - B + \frac{(x - 1) (C {(x - 1)}^{2})}{(x - 1) \cdot 1}$

ステップ 1.6.6.2.2

共通因数を約分します。

$2 x = A + B x - B + \frac{(x - 1) (C {(x - 1)}^{2})}{(x - 1) \cdot 1}$

ステップ 1.6.6.2.3

式を書き換えます。

$2 x = A + B x - B + \frac{C {(x - 1)}^{2}}{1}$

ステップ 1.6.6.2.4

$C {(x - 1)}^{2}$ を $1$ で割ります。

$2 x = A + B x - B + C {(x - 1)}^{2}$

ステップ 1.6.7

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$2 x = A + B x - B + C ((x - 1) (x - 1))$

ステップ 1.6.8

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.8.1

分配則を当てはめます。

$2 x = A + B x - B + C (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

ステップ 1.6.8.2

分配則を当てはめます。

$2 x = A + B x - B + C (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

ステップ 1.6.8.3

分配則を当てはめます。

$2 x = A + B x - B + C (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.6.9

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.9.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$2 x = A + B x - B + C (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.6.9.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$2 x = A + B x - B + C (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.6.9.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$2 x = A + B x - B + C (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.6.9.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$2 x = A + B x - B + C (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.6.9.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 x = A + B x - B + C (x^{2} - x - x + 1)$

ステップ 1.6.9.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$2 x = A + B x - B + C (x^{2} - 2 x + 1)$

ステップ 1.6.10

分配則を当てはめます。

$2 x = A + B x - B + C x^{2} + C (- 2 x) + C \cdot 1$

ステップ 1.6.11

簡約します。

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ステップ 1.6.11.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 x = A + B x - B + C x^{2} - 2 C x + C \cdot 1$

ステップ 1.6.11.2

$C$ に $1$ をかけます。

$2 x = A + B x - B + C x^{2} - 2 C x + C$

ステップ 1.7

式を簡約します。

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ステップ 1.7.1

$- B$ を移動させます。

$2 x = A + B x + C x^{2} - 2 C x - B + C$

ステップ 1.7.2

$A$ を移動させます。

$2 x = B x + C x^{2} - 2 C x + A - B + C$

ステップ 1.7.3

$B x$ と $C x^{2}$ を並べ替えます。

$2 x = C x^{2} + B x - 2 C x + A - B + C$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = C$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$2 = B - 2 C$

ステップ 2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A - 1 B + C$

ステップ 2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = C$

$2 = B - 2 C$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = C$

$2 = B - 2 C$

$0 = A - 1 B + C$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $C = 0$ として書き換えます。

$C = 0$

$2 = B - 2 C$

$0 = A - 1 B + C$

ステップ 3.2

各方程式の $C$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

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ステップ 3.2.1

$2 = B - 2 C$ の $C$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

$2 = B - 2 \cdot 0$

$C = 0$

$0 = A - 1 B + C$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$B - 2 \cdot 0$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$- 2$ に $0$ をかけます。

$2 = B + 0$

$C = 0$

$0 = A - 1 B + C$

ステップ 3.2.2.1.2

$B$ と $0$ をたし算します。

$2 = B$

$C = 0$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = B$

$C = 0$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = B$

$C = 0$

$0 = A - 1 B + C$

ステップ 3.2.3

$0 = A - 1 B + C$ の $C$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

$0 = A - 1 B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

ステップ 3.2.4

$0 = A - 1 B + 0$ を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1.1

括弧を削除します。

$0 = A - 1 B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

$0 = A - 1 B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

ステップ 3.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.4.2.1

$A - 1 B + 0$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.2.1.1

$A - 1 B$ と $0$ をたし算します。

$0 = A - 1 B$

$2 = B$

$C = 0$

ステップ 3.2.4.2.1.2

$- 1 B$ を $- B$ に書き換えます。

$0 = A - B$

$2 = B$

$C = 0$

$0 = A - B$

$2 = B$

$C = 0$

$0 = A - B$

$2 = B$

$C = 0$

$0 = A - B$

$2 = B$

$C = 0$

$0 = A - B$

$2 = B$

$C = 0$

ステップ 3.3

方程式を $B = 2$ として書き換えます。

$B = 2$

$0 = A - B$

$C = 0$

ステップ 3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

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ステップ 3.4.1

$0 = A - B$ の $B$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

$0 = A - (2)$

$B = 2$

$C = 0$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$0 = A - 2$

$B = 2$

$C = 0$

$0 = A - 2$

$B = 2$

$C = 0$

$0 = A - 2$

$B = 2$

$C = 0$

ステップ 3.5

$0 = A - 2$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

方程式を $A - 2 = 0$ として書き換えます。

$A - 2 = 0$

$B = 2$

$C = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$A = 2$

$B = 2$

$C = 0$

$A = 2$

$B = 2$

$C = 0$

ステップ 3.6

連立方程式を解きます。

$A = 2 B = 2 C = 0$

ステップ 3.7

すべての解をまとめます。

$A = 2, B = 2, C = 0$

ステップ 4

$\frac{A}{{(x - 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{C}{x - 1}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{2}{{(x - 1)}^{3}} + \frac{2}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{0}{x - 1}$

代数 例

代数例