代数例

$\tan (\arcsin (x + \frac{1}{2}))$

ステップ 1

交点 $(\sqrt{1^{2} - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}, x + \frac{1}{2})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arcsin (x + \frac{1}{2})$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{1^{2} - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}, x + \frac{1}{2})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\tan (\arcsin (x + \frac{1}{2}))$ は $\frac{x + \frac{1}{2}}{\sqrt{1 - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}}$ です。

$\frac{x + \frac{1}{2}}{\sqrt{1 - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}}$

ステップ 2

分子を簡約します。

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ステップ 2.1

$x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{1 - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}}$

ステップ 2.2

$x$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{1 - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}}$

ステップ 2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x \cdot 2 + 1}{2}}{\sqrt{1 - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}}$

ステップ 2.4

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{1 - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}}$

ステップ 3

分母を簡約します。

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ステップ 3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{1^{2} - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}}$

ステップ 3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x + \frac{1}{2}$ です。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{(1 + x + \frac{1}{2}) (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{(x + \frac{2}{2} + \frac{1}{2}) (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

ステップ 3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{(x + \frac{2 + 1}{2}) (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

ステップ 3.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{(x + \frac{3}{2}) (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

ステップ 3.3.4

$x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{(x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}) (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

ステップ 3.3.5

$x$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{(\frac{x \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}) (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

ステップ 3.3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{x \cdot 2 + 3}{2} (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

ステップ 3.3.7

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

ステップ 3.3.8

$x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} (1 - (x \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}))}}$

ステップ 3.3.9

$x$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} (1 - (\frac{x \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}))}}$

ステップ 3.3.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} (1 - \frac{x \cdot 2 + 1}{2})}}$

ステップ 3.3.11

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} (1 - \frac{2 x + 1}{2})}}$

ステップ 3.3.12

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} (\frac{2}{2} - \frac{2 x + 1}{2})}}$

ステップ 3.3.13

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} \cdot \frac{2 - (2 x + 1)}{2}}}$

ステップ 3.3.14

因数分解した形で $\frac{2 - (2 x + 1)}{2}$ を書き換えます。

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ステップ 3.3.14.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} \cdot \frac{2 - (2 x) - 1 \cdot 1}{2}}}$

ステップ 3.3.14.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} \cdot \frac{2 - 2 x - 1 \cdot 1}{2}}}$

ステップ 3.3.14.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} \cdot \frac{2 - 2 x - 1}{2}}}$

ステップ 3.3.14.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} \cdot \frac{- 2 x + 1}{2}}}$

ステップ 3.4

$\frac{2 x + 3}{2}$ に $\frac{- 2 x + 1}{2}$ をかけます。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}{2 \cdot 2}}}$

ステップ 3.5

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}{4}}}$

ステップ 3.6

$\frac{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 x + 3) (- 2 x + 1))$ に書き換えます。

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ステップ 3.6.1

$(2 x + 3) (- 2 x + 1)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 x + 3) (- 2 x + 1))}{4}}}$

ステップ 3.6.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 x + 3) (- 2 x + 1))}{2^{2} \cdot 1}}}$

ステップ 3.6.3

分数 $\frac{1^{2} ((2 x + 3) (- 2 x + 1))}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 x + 3) (- 2 x + 1))}}$

ステップ 3.7

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\frac{1}{2} \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$

ステップ 3.8

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}$ をまとめます。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{2}}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{2 x + 1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$

ステップ 5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x + 1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$

ステップ 5.2

式を書き換えます。

$(2 x + 1) \frac{1}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$

ステップ 6

$\frac{1}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$ に $\frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$ をかけます。

$(2 x + 1) (\frac{1}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}})$

ステップ 7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$ に $\frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$ をかけます。

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)} \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$

ステップ 7.2

$\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}$ を $1$ 乗します。

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}^{1} \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$

ステップ 7.3

$\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}$ を $1$ 乗します。

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}^{1} {\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}^{1}}$

ステップ 7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}^{1 + 1}}$

ステップ 7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}^{2}}$

ステップ 7.6

${\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}^{2}$ を $(2 x + 3) (- 2 x + 1)$ に書き換えます。

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ステップ 7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}$ を ${((2 x + 3) (- 2 x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{({((2 x + 3) (- 2 x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{((2 x + 3) (- 2 x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{((2 x + 3) (- 2 x + 1))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.6.4.1

共通因数を約分します。

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{((2 x + 3) (- 2 x + 1))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.6.4.2

式を書き換えます。

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{((2 x + 3) (- 2 x + 1))}^{1}}$

ステップ 7.6.5

簡約します。

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}$

ステップ 8

$2 x + 1$ に $\frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}$ をかけます。

$\frac{(2 x + 1) \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}$

ステップ 9

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{(2 x + 1) \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (- (2 x) + 1)}$

ステップ 10

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{(2 x + 1) \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (- (2 x) - 1 (- 1))}$

ステップ 11

$- 1$ を $- (2 x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{(2 x + 1) \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (- (2 x - 1))}$

ステップ 12

負の数を書き換えます。

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ステップ 12.1

$- (2 x - 1)$ を $- 1 (2 x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{(2 x + 1) \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (- 1 (2 x - 1))}$

ステップ 12.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{(2 x + 1) \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (2 x - 1)}$

ステップ 12.3

$- \frac{(2 x + 1) \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (2 x - 1)}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)} (2 x + 1)}{(2 x + 3) (2 x - 1)}$

代数 例

代数例