代数例

$f (x) = - 6 x^{2} + 9 x - 17$

ステップ 1

$f (x) = - 6 x^{2} + 9 x - 17$ を方程式で書きます。

$y = - 6 x^{2} + 9 x - 17$

ステップ 2

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$- 6 x^{2} + 9 x - 17 = y$

ステップ 3

方程式の両辺に $17$ を足します。

$- 6 x^{2} + 9 x = y + 17$

ステップ 4

平方を完成させます。

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ステップ 4.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 6$

$b = 9$

$c = 0 = y + 17$

ステップ 4.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e = y + 17$

ステップ 4.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{9}{2 \cdot - 6}$

ステップ 4.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$9$ と $- 6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$d = \frac{3 (3)}{2 \cdot - 6}$

ステップ 4.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.2.1

$3$ を $2 \cdot - 6$ で因数分解します。

$d = \frac{3 (3)}{3 (2 \cdot - 2)}$

ステップ 4.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{3 \cdot 3}{3 (2 \cdot - 2)}$

ステップ 4.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{3}{2 \cdot - 2}$

ステップ 4.3.2.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$d = \frac{3}{- 4}$

ステップ 4.3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{3}{4}$

ステップ 4.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 4.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{9^{2}}{4 \cdot - 6}$

ステップ 4.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.4.2.1.1

$9$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{81}{4 \cdot - 6}$

ステップ 4.4.2.1.2

$4$ に $- 6$ をかけます。

$e = 0 - \frac{81}{- 24}$

ステップ 4.4.2.1.3

$81$ と $- 24$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.2.1.3.1

$3$ を $81$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{3 (27)}{- 24}$

ステップ 4.4.2.1.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.2.1.3.2.1

$3$ を $- 24$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot - 8}$

ステップ 4.4.2.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot - 8}$

ステップ 4.4.2.1.3.2.3

式を書き換えます。

$e = 0 - \frac{27}{- 8}$

ステップ 4.4.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$e = 0 - - \frac{27}{8}$

ステップ 4.4.2.1.5

$- - \frac{27}{8}$ を掛けます。

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ステップ 4.4.2.1.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e = 0 + 1 (\frac{27}{8})$

ステップ 4.4.2.1.5.2

$\frac{27}{8}$ に $1$ をかけます。

$e = 0 + \frac{27}{8}$

ステップ 4.4.2.2

$0$ と $\frac{27}{8}$ をたし算します。

$e = \frac{27}{8}$

ステップ 4.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{27}{8}$ に代入します。

$- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{27}{8} = y + 17$

ステップ 5

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $\frac{27}{8}$ を引きます。

$- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + 17 - \frac{27}{8}$

ステップ 5.2

$17$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + 17 \cdot \frac{8}{8} - \frac{27}{8}$

ステップ 5.3

$17$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{17 \cdot 8}{8} - \frac{27}{8}$

ステップ 5.4

公分母の分子をまとめます。

$- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{17 \cdot 8 - 27}{8}$

ステップ 5.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$17$ に $8$ をかけます。

$- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{136 - 27}{8}$

ステップ 5.5.2

$136$ から $27$ を引きます。

$- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{109}{8}$

ステップ 6

$- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{109}{8}$ の各項を $- 6$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{109}{8}$ の各項を $- 6$ で割ります。

$\frac{- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2}}{- 6} = \frac{y}{- 6} + \frac{\frac{109}{8}}{- 6}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- 6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2}}{- 6} = \frac{y}{- 6} + \frac{\frac{109}{8}}{- 6}$

ステップ 6.2.1.2

${(x - \frac{3}{4})}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{- 6} + \frac{\frac{109}{8}}{- 6}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{y}{6} + \frac{\frac{109}{8}}{- 6}$

ステップ 6.3.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{y}{6} + \frac{109}{8} \cdot \frac{1}{- 6}$

ステップ 6.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{y}{6} + \frac{109}{8} (- \frac{1}{6})$

ステップ 6.3.1.4

$\frac{109}{8} (- \frac{1}{6})$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1.4.1

$\frac{109}{8}$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{y}{6} - \frac{109}{8 \cdot 6}$

ステップ 6.3.1.4.2

$8$ に $6$ をかけます。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{y}{6} - \frac{109}{48}$

ステップ 7

因数分解。

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ステップ 7.1

$- 1$ を $- \frac{y}{6} - \frac{109}{48}$ で因数分解します。

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ステップ 7.1.1

$- 1$ を $- \frac{y}{6}$ で因数分解します。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - (\frac{y}{6}) - \frac{109}{48}$

ステップ 7.1.2

$- 1$ を $- \frac{109}{48}$ で因数分解します。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - (\frac{y}{6}) - (\frac{109}{48})$

ステップ 7.1.3

$- 1$ を $- (\frac{y}{6}) - (\frac{109}{48})$ で因数分解します。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - (\frac{y}{6} + \frac{109}{48})$

ステップ 7.2

$\frac{y}{6}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - (\frac{y}{6} \cdot \frac{8}{8} + \frac{109}{48})$

ステップ 7.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $48$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 7.3.1

$\frac{y}{6}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - (\frac{y \cdot 8}{6 \cdot 8} + \frac{109}{48})$

ステップ 7.3.2

$6$ に $8$ をかけます。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - (\frac{y \cdot 8}{48} + \frac{109}{48})$

ステップ 7.4

公分母の分子をまとめます。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{y \cdot 8 + 109}{48}$

ステップ 7.5

$8$ を $y$ の左に移動させます。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{8 y + 109}{48}$

ステップ 7.6

項を並べ替えます。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - (\frac{1}{48} (8 y + 109))$

ステップ 7.7

括弧を削除します。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{1}{48} (8 y + 109)$

代数 例

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