代数例

$f (x) = x^{5} - 16 x^{4} + 64 x^{3}$

ステップ 1

$x^{5} - 16 x^{4} + 64 x^{3}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{5} - 16 x^{4} + 64 x^{3} = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x^{3}$ を $x^{5} - 16 x^{4} + 64 x^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

$x^{3}$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$x^{3} x^{2} - 16 x^{4} + 64 x^{3} = 0$

ステップ 2.1.1.2

$x^{3}$ を $- 16 x^{4}$ で因数分解します。

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 16 x) + 64 x^{3} = 0$

ステップ 2.1.1.3

$x^{3}$ を $64 x^{3}$ で因数分解します。

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 16 x) + x^{3} \cdot 64 = 0$

ステップ 2.1.1.4

$x^{3}$ を $x^{3} x^{2} + x^{3} (- 16 x)$ で因数分解します。

$x^{3} (x^{2} - 16 x) + x^{3} \cdot 64 = 0$

ステップ 2.1.1.5

$x^{3}$ を $x^{3} (x^{2} - 16 x) + x^{3} \cdot 64$ で因数分解します。

$x^{3} (x^{2} - 16 x + 64) = 0$

ステップ 2.1.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$x^{3} (x^{2} - 16 x + 8^{2}) = 0$

ステップ 2.1.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$16 x = 2 \cdot x \cdot 8$

ステップ 2.1.2.3

多項式を書き換えます。

$x^{3} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^{2}) = 0$

ステップ 2.1.2.4

$a = x$ と $b = 8$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$x^{3} {(x - 8)}^{2} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{3} = 0$

${(x - 8)}^{2} = 0$

ステップ 2.3

$x^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x^{3}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $x^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 2.3.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 2.3.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 2.4

${(x - 8)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

${(x - 8)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 8)}^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について ${(x - 8)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

$x - 8$ が $0$ に等しいとします。

$x - 8 = 0$

ステップ 2.4.2.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x = 8$

ステップ 2.5

最終解は $x^{3} {(x - 8)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。根の重複度は根が出現する回数です。

$x = 0$ （ $3$ の重複度）

$x = 8$ （ $2$ の重複度）

$x = 0$ （ $3$ の重複度）

$x = 8$ （ $2$ の重複度）

ステップ 3

代数 例

代数例