代数例

$f (x) = \frac{1}{3} \log_{4} (x)$

ステップ 1

$f (x) = \frac{1}{3} \log_{4} (x)$ を方程式で書きます。

$y = \frac{1}{3} \log_{4} (x)$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y)$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y) = x$ として書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y) = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y)) = 3 x$

ステップ 3.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$3 (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y))$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$\frac{1}{3}$ と $\log_{4} (y)$ をまとめます。

$3 \frac{\log_{4} (y)}{3} = 3 x$

ステップ 3.3.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{\log_{4} (y)}{3} = 3 x$

ステップ 3.3.1.2.2

式を書き換えます。

$\log_{4} (y) = 3 x$

ステップ 3.4

対数の定義を利用して $\log_{4} (y) = 3 x$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$4^{3 x} = y$

ステップ 3.5

方程式を $y = 4^{3 x}$ として書き換えます。

$y = 4^{3 x}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = 4^{3 x}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = 4^{3 x}$ が $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = 4^{3 (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x))}$

ステップ 5.2.3

対数の中の $\frac{1}{3}$ を移動させて $\frac{1}{3} \log_{4} (x)$ を簡約します。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = 4^{3 \log_{4} (x^{\frac{1}{3}})}$

ステップ 5.2.4

対数の中の $3$ を移動させて $3 \log_{4} (x^{\frac{1}{3}})$ を簡約します。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = 4^{\log_{4} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{3})}$

ステップ 5.2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

ステップ 5.2.6

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

ステップ 5.2.6.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.6.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

ステップ 5.2.6.2.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (4^{3 x})$ の値を求めます。

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot \log_{4} (4^{3 x})$

ステップ 5.3.3

対数の法則を利用して指数の外に $3 x$ を移動します。

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x \log_{4} (4))$

ステップ 5.3.4

$4$ の対数の底 $4$ は $1$ です。

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x \cdot 1)$

ステップ 5.3.5

$3$ に $1$ をかけます。

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

ステップ 5.3.6

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.6.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x))$

ステップ 5.3.6.2

共通因数を約分します。

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

ステップ 5.3.6.3

式を書き換えます。

$f (4^{3 x}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = 4^{3 x}$ は $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = 4^{3 x}$

代数 例

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