代数例

$y = \frac{\log (x)}{4 + \log (x)}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\log (x)}{4 + \log (x)})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \log (x)$ および $g (x) = 4 + \log (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{d}{d x} [\log (x)] - \log (x) \frac{d}{d x} [4 + \log (x)]}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 3.2

$x$ に関する $\log (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x \ln (10)}$ です。

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{d}{d x} [4 + \log (x)]}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

総和則では、 $4 + \log (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\log (x)]$ です。

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\log (x)])}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) (0 + \frac{d}{d x} [\log (x)])}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\log (x)]$ をたし算します。

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 3.4

$x$ に関する $\log (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x \ln (10)}$ です。

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{1}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 3.5

$\frac{1}{x \ln (10)}$ と $\log (x)$ をまとめます。

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 3.6

$(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x \ln (10)}{x \ln (10)}$ を掛けます。

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} \cdot \frac{x \ln (10)}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 3.7

$(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)}$ と $\frac{x \ln (10)}{x \ln (10)}$ をまとめます。

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} (x \ln (10))}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 3.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} (x \ln (10)) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 3.9

$x$ と $\frac{1}{x \ln (10)}$ をまとめます。

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{x}{x \ln (10)} \ln (10) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 3.10

$\ln (10)$ と $\frac{x}{x \ln (10)}$ をまとめます。

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{\ln (10) x}{x \ln (10)} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 3.11

$\ln (10)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.11.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{\ln (10) x}{x \ln (10)} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 3.11.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{x}{x} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 3.12

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.12.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{x}{x} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 3.12.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \cdot 1 - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 3.13

$4 + \log (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{4 + \log (x) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 3.14

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{\frac{4 + \log (\frac{x}{x})}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 3.15

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.15.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{4 + \log (\frac{x}{x})}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 3.15.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{4 + \log (1)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 3.16

$\frac{\frac{4 + \log (1)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$ を積として書き換えます。

$\frac{4 + \log (1)}{x \ln (10)} \cdot \frac{1}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 3.17

$\frac{4 + \log (1)}{x \ln (10)}$ に $\frac{1}{{(4 + \log (x))}^{2}}$ をかけます。

$\frac{4 + \log (1)}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 3.18

簡約します。

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ステップ 3.18.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.18.1.1

$1$ の対数の底 $10$ は $0$ です。

$\frac{4 + 0}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 3.18.1.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 3.18.2

項を並べ替えます。

$\frac{4}{x {(4 + \log (x))}^{2} \ln (10)}$

ステップ 3.18.3

$\frac{4}{x {(4 + \log (x))}^{2} \ln (10)}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{4}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{4}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$

代数 例

代数例