代数例

$f (x) = e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{0.5 x}] + \frac{d}{d x} [64 e^{- 0.5 x}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{0.5 x}) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [e^{0.5 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 0.5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $0.5 x$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

ステップ 1.1.2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

ステップ 1.1.2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $0.5 x$ で置き換えます。

$f' (x) = e^{0.5 x} \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

ステップ 1.1.2.2

$0.5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $0.5 x$ の微分係数は $0.5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = e^{0.5 x} (0.5 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

ステップ 1.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = e^{0.5 x} (0.5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

ステップ 1.1.2.4

$0.5$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = e^{0.5 x} \cdot 0.5 + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

ステップ 1.1.2.5

$0.5$ を $e^{0.5 x}$ の左に移動させます。

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [64 e^{- 0.5 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$64$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $64 e^{- 0.5 x}$ の微分係数は $64 \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$ です。

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x})$

ステップ 1.1.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 0.5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- 0.5 x$ とします。

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

ステップ 1.1.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

ステップ 1.1.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- 0.5 x$ で置き換えます。

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

ステップ 1.1.3.3

$- 0.5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 0.5 x$ の微分係数は $- 0.5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \frac{d}{d x} x))$

ステップ 1.1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \cdot 1))$

ステップ 1.1.3.5

$- 0.5$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} \cdot - 0.5)$

ステップ 1.1.3.6

$- 0.5$ を $e^{- 0.5 x}$ の左に移動させます。

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (- 0.5 \cdot e^{- 0.5 x})$

ステップ 1.1.3.7

$- 0.5$ に $64$ をかけます。

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$ です。

$0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x} = 0$

ステップ 2.2

両辺に $- 32 e^{- 0.5 x}$ を加えて方程式の右辺に移動させます。

$0.5 e^{0.5 x} = 32 e^{- 0.5 x}$

ステップ 2.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (0.5 e^{0.5 x}) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

ステップ 2.4

左辺を展開します。

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ステップ 2.4.1

$\ln (0.5 e^{0.5 x})$ を $\ln (0.5) + \ln (e^{0.5 x})$ に書き換えます。

$\ln (0.5) + \ln (e^{0.5 x}) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

ステップ 2.4.2

$0.5 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{0.5 x})$ を展開します。

$\ln (0.5) + 0.5 x \ln (e) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

ステップ 2.4.3

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\ln (0.5) + 0.5 x \cdot 1 = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

ステップ 2.4.4

$0.5$ に $1$ をかけます。

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

ステップ 2.5

右辺を展開します。

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ステップ 2.5.1

$\ln (32 e^{- 0.5 x})$ を $\ln (32) + \ln (e^{- 0.5 x})$ に書き換えます。

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) + \ln (e^{- 0.5 x})$

ステップ 2.5.2

$- 0.5 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- 0.5 x})$ を展開します。

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x \ln (e)$

ステップ 2.5.3

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x \cdot 1$

ステップ 2.5.4

$- 0.5$ に $1$ をかけます。

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x$

ステップ 2.6

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (0.5) - \ln (32) = - 0.5 x - 0.5 x$

ステップ 2.7

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{0.5}{32}) = - 0.5 x - 0.5 x$

ステップ 2.8

$0.5$ を $32$ で割ります。

$\ln (0.015625) = - 0.5 x - 0.5 x$

ステップ 2.9

$- 0.5 x$ から $0.5 x$ を引きます。

$\ln (0.015625) = - 1 x$

ステップ 2.10

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$- 1 x = \ln (0.015625)$

ステップ 2.11

$- 1 x = \ln (0.015625)$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.11.1

$- 1 x = \ln (0.015625)$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- 1 x}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

ステップ 2.11.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.11.2.1

$- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.11.2.1.1

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (1) x}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

ステップ 2.11.2.1.2

$1$ を $- 1 (1) x$ で因数分解します。

$\frac{1 (- 1 \cdot 1 x)}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

ステップ 2.11.2.1.3

$\frac{- 1 \cdot 1 x}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$- 1 \cdot (- 1 \cdot 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

ステップ 2.11.2.2

式を簡約します。

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ステップ 2.11.2.2.1

$- 1 \cdot (- 1 \cdot 1 x)$ を $- (- 1 \cdot 1 x)$ に書き換えます。

$- (- 1 \cdot 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

ステップ 2.11.2.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- (- 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

ステップ 2.11.2.2.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$- - x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

ステップ 2.11.2.3

$- - x$ を掛けます。

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ステップ 2.11.2.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

ステップ 2.11.2.3.2

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

ステップ 2.11.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.11.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{\ln (0.015625)}{1}$

ステップ 2.11.3.2

$\ln (0.015625)$ を $1$ で割ります。

$x = - \ln (0.015625)$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $- \ln (0.015625)$ です。

$- \ln (0.015625)$

ステップ 4

微分係数 $f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, - \ln (0.015625)) \cup (- \ln (0.015625), \infty)$ です。

$(- \infty, - \ln (0.015625)) \cup (- \ln (0.015625), \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - \ln (0.015625))$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $3.15888308$ で置換えます。

$f' (3.15888308) = 0.5 e^{0.5 (3.15888308)} - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$0.5$ に $3.15888308$ をかけます。

$f' (3.15888308) = 0.5 e^{1.57944154} - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

ステップ 5.2.1.2

$0.5$ に $e^{1.57944154}$ をかけます。

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

ステップ 5.2.1.3

$- 0.5$ に $3.15888308$ をかけます。

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 e^{- 1.57944154}$

ステップ 5.2.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 \frac{1}{e^{1.57944154}}$

ステップ 5.2.1.5

$- 32$ と $\frac{1}{e^{1.57944154}}$ をまとめます。

$f' (3.15888308) = 2.42612263 + \frac{- 32}{e^{1.57944154}}$

ステップ 5.2.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{e^{1.57944154}}$

ステップ 5.2.1.7

$e$ を概算で置き換えます。

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{{2.71828182}^{1.57944154}}$

ステップ 5.2.1.8

$2.71828182$ を $1.57944154$ 乗します。

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{4.85224527}$

ステップ 5.2.1.9

$32$ を $4.85224527$ で割ります。

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 1 \cdot 6.59488508$

ステップ 5.2.1.10

$- 1$ に $6.59488508$ をかけます。

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 6.59488508$

ステップ 5.2.2

$2.42612263$ から $6.59488508$ を引きます。

$f' (3.15888308) = - 4.16876244$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 4.16876244$ です。

$- 4.16876244$

ステップ 5.3

$x = 3.15888308$ で微分係数は $- 4.16876244$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - \ln (0.015625))$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, - \ln (0.015625))$ で減少

ステップ 6

区間 $(- \ln (0.015625), \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $5.15888308$ で置換えます。

$f' (5.15888308) = 0.5 e^{0.5 (5.15888308)} - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$0.5$ に $5.15888308$ をかけます。

$f' (5.15888308) = 0.5 e^{2.57944154} - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

ステップ 6.2.1.2

$0.5$ に $e^{2.57944154}$ をかけます。

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

ステップ 6.2.1.3

$- 0.5$ に $5.15888308$ をかけます。

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 e^{- 2.57944154}$

ステップ 6.2.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 \frac{1}{e^{2.57944154}}$

ステップ 6.2.1.5

$- 32$ と $\frac{1}{e^{2.57944154}}$ をまとめます。

$f' (5.15888308) = 6.59488508 + \frac{- 32}{e^{2.57944154}}$

ステップ 6.2.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{e^{2.57944154}}$

ステップ 6.2.1.7

$e$ を概算で置き換えます。

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{{2.71828182}^{2.57944154}}$

ステップ 6.2.1.8

$2.71828182$ を $2.57944154$ 乗します。

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{13.18977016}$

ステップ 6.2.1.9

$32$ を $13.18977016$ で割ります。

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 1 \cdot 2.42612263$

ステップ 6.2.1.10

$- 1$ に $2.42612263$ をかけます。

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 2.42612263$

ステップ 6.2.2

$6.59488508$ から $2.42612263$ を引きます。

$f' (5.15888308) = 4.16876244$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $4.16876244$ です。

$4.16876244$

ステップ 6.3

$x = 5.15888308$ で微分係数は $4.16876244$ です。これは正の値なので、関数は $(- \ln (0.015625), \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \ln (0.015625), \infty)$ で増加

ステップ 7

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \ln (0.015625), \infty)$ で増加

$(- \infty, - \ln (0.015625))$ で減少

ステップ 8

代数 例

代数例