代数例

$\sqrt[n]{x^{2 n + 1}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[n]{x^{2 n + 1}}$ を $x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d n} [x^{\frac{2 n + 1}{n}}]$

ステップ 2

$f = x$ および $g = \frac{2 n + 1}{n}$ のとき、 $\frac{d}{d n} [f^{g}]$ は $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ であるという一般化べき乗則を使って微分します。

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{2 n + 1}{n} - 1}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{n}{n}$ を掛けます。

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{2 n + 1}{n} - 1 \cdot \frac{n}{n}}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

ステップ 4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 1$ と $\frac{n}{n}$ をまとめます。

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{2 n + 1}{n} + \frac{- n}{n}}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

ステップ 4.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{2 n + 1 - n}{n}}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

ステップ 4.2.2

$2 n$ から $n$ を引きます。

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{n + 1}{n}}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

ステップ 4.2.3

$\frac{2 n + 1}{n}$ と $x^{\frac{n + 1}{n}}$ をまとめます。

$\frac{d}{d n} [x] \frac{(2 n + 1) x^{\frac{n + 1}{n}}}{n} + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

ステップ 4.3

$x$ は $n$ について定数なので、 $n$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$0 \frac{(2 n + 1) x^{\frac{n + 1}{n}}}{n} + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

ステップ 4.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$0$ に $\frac{(2 n + 1) x^{\frac{n + 1}{n}}}{n}$ をかけます。

$0 + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

ステップ 4.4.2

$0$ と $\frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$ をたし算します。

$\frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

ステップ 5

$f (n) = 2 n + 1$ および $g (n) = n$ のとき、 $\frac{d}{d n} [\frac{f (n)}{g (n)}]$ は $\frac{g (n) \frac{d}{d n} [f (n)] - f (n) \frac{d}{d n} [g (n)]}{{g (n)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{n \frac{d}{d n} [2 n + 1] - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

ステップ 6

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

総和則では、 $2 n + 1$ の $n$ に関する積分は $\frac{d}{d n} [2 n] + \frac{d}{d n} [1]$ です。

$\frac{n (\frac{d}{d n} [2 n] + \frac{d}{d n} [1]) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

ステップ 6.2

$2$ は $n$ に対して定数なので、 $n$ に対する $2 n$ の微分係数は $2 \frac{d}{d n} [n]$ です。

$\frac{n (2 \frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [1]) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

ステップ 6.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ は $n \cdot n^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{n (2 \cdot 1 + \frac{d}{d n} [1]) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

ステップ 6.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{n (2 + \frac{d}{d n} [1]) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

ステップ 6.5

$1$ は $n$ について定数なので、 $n$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{n (2 + 0) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

ステップ 6.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{n \cdot 2 - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

ステップ 6.6.2

$2$ を $n$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot n - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

ステップ 6.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ は $n \cdot n^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 n - (2 n + 1) \cdot 1}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

ステップ 6.8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 n - (2 n + 1)}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

ステップ 6.8.2

$x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ と $\frac{2 n - (2 n + 1)}{n^{2}}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - (2 n + 1))}{n^{2}} \ln (x)$

ステップ 6.8.3

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - (2 n + 1))}{n^{2}}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - (2 n + 1)) \ln (x)}{n^{2}}$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - (2 n) - 1 \cdot 1) \ln (x)}{n^{2}}$

ステップ 7.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - 2 n - 1 \cdot 1) \ln (x)}{n^{2}}$

ステップ 7.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - 2 n - 1) \ln (x)}{n^{2}}$

ステップ 7.2.2

$2 n$ から $2 n$ を引きます。

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (0 - 1) \ln (x)}{n^{2}}$

ステップ 7.2.3

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} \cdot - 1 \ln (x)}{n^{2}}$

ステップ 7.2.4

$- 1$ を $x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ の左に移動させます。

$\frac{- 1 \cdot x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x)}{n^{2}}$

ステップ 7.2.5

$- 1 x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ を $- x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ に書き換えます。

$\frac{- x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x)}{n^{2}}$

ステップ 7.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x)}{n^{2}}$

代数 例

代数例