代数例

$y = \frac{4 x^{5} + 2 x^{2}}{3 x^{4} + 5}$

ステップ 1

$f (x) = 4 x^{5} + 2 x^{2}$ および $g (x) = 3 x^{4} + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(3 x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [4 x^{5} + 2 x^{2}] - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 2

総和則では、 $4 x^{5} + 2 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ です。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [4 x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{5}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 3.3

$5$ に $4$ をかけます。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 4

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 2 (2 x)) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 4.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 5

総和則では、 $3 x^{4} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 6

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 6.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 6.3

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 7

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (12 x^{3} + 0)}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 7.2

$12 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) + (- (4 x^{5}) - (2 x^{2})) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{4} (20 x^{4} + 4 x) + 5 (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.3.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{4} (20 x^{4}) + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.3.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{4} (20 x^{4}) + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.3.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 \cdot 20 x^{4} x^{4} + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.3.1.2.2

指数を足して $x^{4}$ に $x^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.2.2.1

$x^{4}$ を移動させます。

$\frac{3 \cdot 20 (x^{4} x^{4}) + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.3.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 \cdot 20 x^{4 + 4} + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.3.1.2.2.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$\frac{3 \cdot 20 x^{8} + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.3.1.2.3

$3$ に $20$ をかけます。

$\frac{60 x^{8} + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.3.1.2.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{60 x^{8} + 3 \cdot 4 x^{4} x + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.3.1.2.5

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.2.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{60 x^{8} + 3 \cdot 4 (x \cdot x^{4}) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.3.1.2.5.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.2.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{60 x^{8} + 3 \cdot 4 (x^{1} x^{4}) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.3.1.2.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{60 x^{8} + 3 \cdot 4 x^{1 + 4} + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.3.1.2.5.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{60 x^{8} + 3 \cdot 4 x^{5} + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.3.1.2.6

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.3.1.2.7

$20$ に $5$ をかけます。

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.3.1.2.8

$4$ に $5$ をかけます。

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.3.1.3

指数を足して $x^{5}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.3.1

$x^{3}$ を移動させます。

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - (4 (x^{3} x^{5})) \cdot 12 - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.3.1.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - (4 x^{3 + 5}) \cdot 12 - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.3.1.3.3

$3$ と $5$ をたし算します。

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - (4 x^{8}) \cdot 12 - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.3.1.4

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 4 x^{8} \cdot 12 - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.3.1.5

$12$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.3.1.6

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.6.1

$x^{3}$ を移動させます。

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - (2 (x^{3} x^{2})) \cdot 12}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.3.1.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - (2 x^{3 + 2}) \cdot 12}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.3.1.6.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - (2 x^{5}) \cdot 12}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.3.1.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - 2 x^{5} \cdot 12}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.3.1.8

$12$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - 24 x^{5}}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.3.2

$60 x^{8}$ から $48 x^{8}$ を引きます。

$\frac{12 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 24 x^{5}}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.3.3

$12 x^{5}$ から $24 x^{5}$ を引きます。

$\frac{12 x^{8} - 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.4

$4 x$ を $12 x^{8} - 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

$4 x$ を $12 x^{8}$ で因数分解します。

$\frac{4 x (3 x^{7}) - 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.4.2

$4 x$ を $- 12 x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{4 x (3 x^{7}) + 4 x (- 3 x^{4}) + 100 x^{4} + 20 x}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.4.3

$4 x$ を $100 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{4 x (3 x^{7}) + 4 x (- 3 x^{4}) + 4 x (25 x^{3}) + 20 x}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.4.4

$4 x$ を $20 x$ で因数分解します。

$\frac{4 x (3 x^{7}) + 4 x (- 3 x^{4}) + 4 x (25 x^{3}) + 4 x (5)}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.4.5

$4 x$ を $4 x (3 x^{7}) + 4 x (- 3 x^{4})$ で因数分解します。

$\frac{4 x (3 x^{7} - 3 x^{4}) + 4 x (25 x^{3}) + 4 x (5)}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.4.6

$4 x$ を $4 x (3 x^{7} - 3 x^{4}) + 4 x (25 x^{3})$ で因数分解します。

$\frac{4 x (3 x^{7} - 3 x^{4} + 25 x^{3}) + 4 x (5)}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

ステップ 8.4.7

$4 x$ を $4 x (3 x^{7} - 3 x^{4} + 25 x^{3}) + 4 x (5)$ で因数分解します。

$\frac{4 x (3 x^{7} - 3 x^{4} + 25 x^{3} + 5)}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

代数 例

代数例