代数例

$x^{2} - 16 y^{2} = 1$

ステップ 1

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$x^{2} - \frac{y^{2}}{\frac{1}{16}} = 1$

ステップ 2

これは双曲線の標準形です。この形式を使って離心率を判定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = 1$

$b = \frac{1}{4}$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 5

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2}}}{1}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2}}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2}}$

ステップ 6.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{1 + {(\frac{1}{4})}^{2}}$

ステップ 6.3

積の法則を $\frac{1}{4}$ に当てはめます。

$\sqrt{1 + \frac{1^{2}}{4^{2}}}$

ステップ 6.4

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{1 + \frac{1}{4^{2}}}$

ステップ 6.5

$4$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{1 + \frac{1}{16}}$

ステップ 6.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{\frac{16}{16} + \frac{1}{16}}$

ステップ 6.7

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{16 + 1}{16}}$

ステップ 6.8

$16$ と $1$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{17}{16}}$

ステップ 6.9

$\sqrt{\frac{17}{16}}$ を $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{16}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{16}}$

ステップ 6.10

分母を簡約します。

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ステップ 6.10.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{4^{2}}}$

ステップ 6.10.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\sqrt{17}}{4}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\sqrt{17}}{4}$

10進法形式：

$1.03077640 \dots$

ステップ 8

代数 例

代数例