代数例

$f (x) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$ の微分係数は $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}]$ です。

$f' (x) = 24 \frac{d}{d x} (\frac{1}{1 + 3 e^{- 1.3 x}})$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{1}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$ を ${(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (x) = 24 \frac{d}{d x} ({(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 1})$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = 1 + 3 e^{- 1.3 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ とします。

$f' (x) = 24 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))$

ステップ 1.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 24 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))$

ステップ 1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ で置き換えます。

$f' (x) = 24 (- {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ に $24$ をかけます。

$f' (x) = - 24 ({(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))$

ステップ 1.1.3.2

総和則では、 $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 e^{- 1.3 x}]$ です。

$f' (x) = - 24 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (3 e^{- 1.3 x}))$

ステップ 1.1.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = - 24 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} (3 e^{- 1.3 x}))$

ステップ 1.1.3.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [3 e^{- 1.3 x}]$ をたし算します。

$f' (x) = - 24 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} (3 e^{- 1.3 x})$

ステップ 1.1.3.5

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{- 1.3 x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{- 1.3 x}]$ です。

$f' (x) = - 24 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} (e^{- 1.3 x}))$

ステップ 1.1.3.6

$3$ に $- 24$ をかけます。

$f' (x) = - 72 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} e^{- 1.3 x}$

ステップ 1.1.4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 1.3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- 1.3 x$ とします。

$f' (x) = - 72 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 1.3 x))$

ステップ 1.1.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = - 72 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 1.3 x))$

ステップ 1.1.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- 1.3 x$ で置き換えます。

$f' (x) = - 72 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} (- 1.3 x))$

ステップ 1.1.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

$- 1.3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 1.3 x$ の微分係数は $- 1.3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = - 72 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (e^{- 1.3 x} (- 1.3 \frac{d}{d x} x))$

ステップ 1.1.5.2

$- 1.3$ に $- 72$ をかけます。

$f' (x) = 93.6 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (e^{- 1.3 x} (\frac{d}{d x} (x)))$

ステップ 1.1.5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 93.6 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (e^{- 1.3 x} \cdot 1)$

ステップ 1.1.5.4

$e^{- 1.3 x}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 93.6 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} e^{- 1.3 x}$

ステップ 1.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

$93.6 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} e^{- 1.3 x}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = 93.6 e^{- 1.3 x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2}$

ステップ 1.1.6.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = 93.6 e^{- 1.3 x} (\frac{1}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}})$

ステップ 1.1.6.3

$93.6 e^{- 1.3 x} \frac{1}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.3.1

$\frac{1}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}$ と $93.6$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{93.6}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}} \cdot e^{- 1.3 x}$

ステップ 1.1.6.3.2

$\frac{93.6}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}$ と $e^{- 1.3 x}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{93.6 e^{- 1.3 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.2.1

$93.6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{93.6 e^{- 1.3 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}$ の微分係数は $93.6 \frac{d}{d x} [\frac{e^{- 1.3 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}]$ です。

$f'' (x) = 93.6 \frac{d}{d x} (\frac{e^{- 1.3 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}})$

ステップ 1.2.2

$f (x) = e^{- 1.3 x}$ および $g (x) = {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 1.3 x}) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{({(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2})}^{2}})$

ステップ 1.2.3

${({(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 1.3 x}) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2 \cdot 2}})$

ステップ 1.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 1.3 x}) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

ステップ 1.2.4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 1.3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- 1.3 x$ とします。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 1.3 x)) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

ステップ 1.2.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 1.3 x)) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

ステップ 1.2.4.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- 1.3 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} (e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} (- 1.3 x)) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

ステップ 1.2.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$- 1.3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 1.3 x$ の微分係数は $- 1.3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} (- 1.3 \frac{d}{d x} x) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

ステップ 1.2.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} (- 1.3 \cdot 1) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

ステップ 1.2.5.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.1

$- 1.3$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} \cdot - 1.3 - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

ステップ 1.2.5.3.2

$- 1.3$ を ${(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 \cdot ({(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x}) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

ステップ 1.2.6

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 1 + 3 e^{- 1.3 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ とします。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

ステップ 1.2.6.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

ステップ 1.2.6.3

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ で置き換えます。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x} (2 (1 + 3 e^{- 1.3 x}) \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

ステップ 1.2.7

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 2 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

ステップ 1.2.7.2

総和則では、 $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 e^{- 1.3 x}]$ です。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 2 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (3 e^{- 1.3 x})))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

ステップ 1.2.7.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 2 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (0 + \frac{d}{d x} (3 e^{- 1.3 x})))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

ステップ 1.2.7.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [3 e^{- 1.3 x}]$ をたし算します。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 2 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) \frac{d}{d x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

ステップ 1.2.7.5

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{- 1.3 x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{- 1.3 x}]$ です。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 2 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (3 \frac{d}{d x} (e^{- 1.3 x})))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

ステップ 1.2.7.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.6.1

$3$ を $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 2 e^{- 1.3 x} (3 \cdot (1 + 3 e^{- 1.3 x}) \frac{d}{d x} (e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

ステップ 1.2.7.6.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 6 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) \frac{d}{d x} (e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

ステップ 1.2.8

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 1.3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $- 1.3 x$ とします。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 6 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (\frac{d}{d u (3)} (e^{u_{3}}) \frac{d}{d x} (- 1.3 x)))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

ステップ 1.2.8.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ は $a^{u_{3}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 6 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} (- 1.3 x)))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

ステップ 1.2.8.3

$u_{3}$ のすべての発生を $- 1.3 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 6 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} (- 1.3 x)))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

ステップ 1.2.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 6 e^{- 1.3 x - 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) \frac{d}{d x} (- 1.3 x))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

ステップ 1.2.10

$- 1.3 x$ から $1.3 x$ を引きます。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 6 e^{- 2.6 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) \frac{d}{d x} (- 1.3 x))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

ステップ 1.2.11

$- 1.3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 1.3 x$ の微分係数は $- 1.3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 6 e^{- 2.6 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (- 1.3 \frac{d}{d x} x))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

ステップ 1.2.12

$- 1.3$ に $- 6$ をかけます。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} + 7.8 e^{- 2.6 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (\frac{d}{d x} (x)))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

ステップ 1.2.13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} + 7.8 e^{- 2.6 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) \cdot 1)}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

ステップ 1.2.14

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.14.1

$1 + 3 e^{- 1.3 x}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} + 7.8 e^{- 2.6 x} (1 + 3 e^{- 1.3 x})}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

ステップ 1.2.14.2

$93.6$ と $\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} + 7.8 e^{- 2.6 x} (1 + 3 e^{- 1.3 x})}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} + 7.8 e^{- 2.6 x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.15.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} + 7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1 + 7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.15.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.15.3.1.1

${(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}$ を $(1 + 3 e^{- 1.3 x}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + 3 e^{- 1.3 x}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.15.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 (1 + 3 e^{- 1.3 x}) + 3 e^{- 1.3 x} (1 + 3 e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 \cdot 1 + 1 (3 e^{- 1.3 x}) + 3 e^{- 1.3 x} (1 + 3 e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 \cdot 1 + 1 (3 e^{- 1.3 x}) + 3 e^{- 1.3 x} \cdot 1 + 3 e^{- 1.3 x} (3 e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.15.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.15.3.1.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 1 (3 e^{- 1.3 x}) + 3 e^{- 1.3 x} \cdot 1 + 3 e^{- 1.3 x} (3 e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.3.1.2

$3 e^{- 1.3 x}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} \cdot 1 + 3 e^{- 1.3 x} (3 e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.3.1.3

$3$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} (3 e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} + 3 \cdot (3 e^{- 1.3 x} e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.3.1.5

指数を足して $e^{- 1.3 x}$ に $e^{- 1.3 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.15.3.1.3.1.5.1

$e^{- 1.3 x}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} + 3 \cdot (3 (e^{- 1.3 x} e^{- 1.3 x}))) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.3.1.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} + 3 \cdot (3 e^{- 1.3 x - 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.3.1.5.3

$- 1.3 x$ から $1.3 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} + 3 \cdot (3 e^{- 2.6 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.3.1.6

$3$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} + 9 e^{- 2.6 x}) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.3.2

$3 e^{- 1.3 x}$ と $3 e^{- 1.3 x}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 6 e^{- 1.3 x} + 9 e^{- 2.6 x}) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.4

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{93.6 ((- 1.3 \cdot 1 - 1.3 (6 e^{- 1.3 x}) - 1.3 (9 e^{- 2.6 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.15.3.1.5.1

$- 1.3$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{93.6 ((- 1.3 - 1.3 (6 e^{- 1.3 x}) - 1.3 (9 e^{- 2.6 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.5.2

$6$ に $- 1.3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{93.6 ((- 1.3 - 7.8 e^{- 1.3 x} - 1.3 (9 e^{- 2.6 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.5.3

$9$ に $- 1.3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{93.6 ((- 1.3 - 7.8 e^{- 1.3 x} - 11.7 e^{- 2.6 x}) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.6

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x} - 7.8 e^{- 1.3 x} e^{- 1.3 x} - 11.7 e^{- 2.6 x} e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.15.3.1.7.1

指数を足して $e^{- 1.3 x}$ に $e^{- 1.3 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.15.3.1.7.1.1

$e^{- 1.3 x}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x} - 7.8 (e^{- 1.3 x} e^{- 1.3 x}) - 11.7 e^{- 2.6 x} e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.7.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x} - 7.8 e^{- 1.3 x - 1.3 x} - 11.7 e^{- 2.6 x} e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.7.1.3

$- 1.3 x$ から $1.3 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x} - 7.8 e^{- 2.6 x} - 11.7 e^{- 2.6 x} e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.7.2

指数を足して $e^{- 2.6 x}$ に $e^{- 1.3 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.15.3.1.7.2.1

$e^{- 1.3 x}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x} - 7.8 e^{- 2.6 x} - 11.7 (e^{- 1.3 x} e^{- 2.6 x})) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x} - 7.8 e^{- 2.6 x} - 11.7 e^{- 1.3 x - 2.6 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.7.2.3

$- 1.3 x$ から $2.6 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x} - 7.8 e^{- 2.6 x} - 11.7 e^{- 3.9 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.8

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x}) + 93.6 (- 7.8 e^{- 2.6 x}) + 93.6 (- 11.7 e^{- 3.9 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.15.3.1.9.1

$- 1.3$ に $93.6$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} + 93.6 (- 7.8 e^{- 2.6 x}) + 93.6 (- 11.7 e^{- 3.9 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.9.2

$- 7.8$ に $93.6$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} + 93.6 (- 11.7 e^{- 3.9 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.9.3

$- 11.7$ に $93.6$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.10

$7.8$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.11

$7.8$ に $93.6$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 730.08 e^{- 2.6 x} + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.12

指数を足して $e^{- 2.6 x}$ に $e^{- 1.3 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.15.3.1.12.1

$e^{- 1.3 x}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 730.08 e^{- 2.6 x} + 93.6 (7.8 (e^{- 1.3 x} e^{- 2.6 x}) \cdot 3)}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.12.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 730.08 e^{- 2.6 x} + 93.6 (7.8 e^{- 1.3 x - 2.6 x} \cdot 3)}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.12.3

$- 1.3 x$ から $2.6 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 730.08 e^{- 2.6 x} + 93.6 (7.8 e^{- 3.9 x} \cdot 3)}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.13

$3$ に $7.8$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 730.08 e^{- 2.6 x} + 93.6 (23.4 e^{- 3.9 x})}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.1.14

$23.4$ に $93.6$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 730.08 e^{- 2.6 x} + 2190.24 e^{- 3.9 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.2

$- 730.08 e^{- 2.6 x}$ と $730.08 e^{- 2.6 x}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} + 0 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 2190.24 e^{- 3.9 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.3

$0$ に $e^{- 2.6 x}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} + 0 - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 2190.24 e^{- 3.9 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.4

$- 121.68 e^{- 1.3 x}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 2190.24 e^{- 3.9 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.3.5

$- 1095.12 e^{- 3.9 x}$ と $2190.24 e^{- 3.9 x}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} + 1095.12 e^{- 3.9 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

ステップ 1.2.15.4

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{1095.12 e^{- 3.9 x} - 121.68 e^{- 1.3 x}}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.15.5

$121.68$ を $1095.12 e^{- 3.9 x} - 121.68 e^{- 1.3 x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.15.5.1

$121.68$ を $1095.12 e^{- 3.9 x}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x}) - 121.68 e^{- 1.3 x}}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.15.5.2

$121.68$ を $- 121.68 e^{- 1.3 x}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x}) + 121.68 (- e^{- 1.3 x})}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.15.5.3

$121.68$ を $121.68 (9 e^{- 3.9 x}) + 121.68 (- e^{- 1.3 x})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x})}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x})}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}}$ です。

$\frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x})}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x})}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x})}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x}) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x}) = 0$ の各項を $121.68$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x}) = 0$ の各項を $121.68$ で割ります。

$\frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x})}{121.68} = \frac{0}{121.68}$

ステップ 2.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

$121.68$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x})}{121.68} = \frac{0}{121.68}$

ステップ 2.3.1.2.1.2

$9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x}$ を $1$ で割ります。

$9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x} = \frac{0}{121.68}$

ステップ 2.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1

$0$ を $121.68$ で割ります。

$9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x} = 0$

ステップ 2.3.2

両辺に $- e^{- 1.3 x}$ を加えて方程式の右辺に移動させます。

$9 e^{- 3.9 x} = e^{- 1.3 x}$

ステップ 2.3.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (9 e^{- 3.9 x}) = \ln (e^{- 1.3 x})$

ステップ 2.3.4

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$\ln (9 e^{- 3.9 x})$ を $\ln (9) + \ln (e^{- 3.9 x})$ に書き換えます。

$\ln (9) + \ln (e^{- 3.9 x}) = \ln (e^{- 1.3 x})$

ステップ 2.3.4.2

$- 3.9 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- 3.9 x})$ を展開します。

$\ln (9) - 3.9 x \ln (e) = \ln (e^{- 1.3 x})$

ステップ 2.3.4.3

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\ln (9) - 3.9 x \cdot 1 = \ln (e^{- 1.3 x})$

ステップ 2.3.4.4

$- 3.9$ に $1$ をかけます。

$\ln (9) - 3.9 x = \ln (e^{- 1.3 x})$

ステップ 2.3.5

右辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$- 1.3 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- 1.3 x})$ を展開します。

$\ln (9) - 3.9 x = - 1.3 x \ln (e)$

ステップ 2.3.5.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\ln (9) - 3.9 x = - 1.3 x \cdot 1$

ステップ 2.3.5.3

$- 1.3$ に $1$ をかけます。

$\ln (9) - 3.9 x = - 1.3 x$

ステップ 2.3.6

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1

方程式の両辺に $1.3 x$ を足します。

$\ln (9) - 3.9 x + 1.3 x = 0$

ステップ 2.3.6.2

$- 3.9 x$ と $1.3 x$ をたし算します。

$\ln (9) - 2.6 x = 0$

ステップ 2.3.7

方程式の両辺から $\ln (9)$ を引きます。

$- 2.6 x = - \ln (9)$

ステップ 2.3.8

$- 2.6 x = - \ln (9)$ の各項を $- 2.6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.8.1

$- 2.6 x = - \ln (9)$ の各項を $- 2.6$ で割ります。

$\frac{- 2.6 x}{- 2.6} = \frac{- \ln (9)}{- 2.6}$

ステップ 2.3.8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.8.2.1

$- 2.6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2.6 x}{- 2.6} = \frac{- \ln (9)}{- 2.6}$

ステップ 2.3.8.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \ln (9)}{- 2.6}$

ステップ 2.3.8.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.8.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{\ln (9)}{2.6}$

ステップ 2.3.8.3.2

$e$ を概算で置き換えます。

$x = \frac{\log_{2.71828182} (9)}{2.6}$

ステップ 2.3.8.3.3

$9$ の対数の底 $2.71828182$ は約 $2.19722457$ です。

$x = \frac{2.19722457}{2.6}$

ステップ 2.3.8.3.4

$2.19722457$ を $2.6$ で割ります。

$x = 0.84508637$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$0.84508637$ を $f (x) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $0.84508637$ で置換えます。

$f (0.84508637) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 \cdot 0.84508637}}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$- 1.3$ に $0.84508637$ をかけます。

$f (0.84508637) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.09861228}}$

ステップ 3.1.2.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (0.84508637) = \frac{24}{1 + 3 (\frac{1}{e^{1.09861228}})}$

ステップ 3.1.2.1.3

$3$ と $\frac{1}{e^{1.09861228}}$ をまとめます。

$f (0.84508637) = \frac{24}{1 + \frac{3}{e^{1.09861228}}}$

ステップ 3.1.2.1.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (0.84508637) = \frac{24}{\frac{e^{1.09861228}}{e^{1.09861228}} + \frac{3}{e^{1.09861228}}}$

ステップ 3.1.2.1.5

公分母の分子をまとめます。

$f (0.84508637) = \frac{24}{\frac{e^{1.09861228} + 3}{e^{1.09861228}}}$

ステップ 3.1.2.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (0.84508637) = 24 (\frac{e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3})$

ステップ 3.1.2.3

$24$ と $\frac{e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3}$ をまとめます。

$f (0.84508637) = \frac{24 e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3}$

ステップ 3.1.2.4

最終的な答えは $\frac{24 e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3}$ です。

$\frac{24 e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3}$

ステップ 3.2

$f (x) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$ で代入して $0.84508637$ 求めた点は、 $(0.84508637, \frac{24 e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0.84508637, \frac{24 e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3})$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 0.84508637) \cup (0.84508637, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0.84508637)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0.74508637$ で置換えます。

$f'' (0.74508637) = \frac{121.68 (9 e^{- 3.9 \cdot 0.74508637} - e^{- 1.3 \cdot 0.74508637})}{{(3 e^{- 1.3 \cdot 0.74508637} + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$121.68$ に $9 e^{- 3.9 \cdot 0.74508637} - e^{- 1.3 \cdot 0.74508637}$ をかけます。

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{{(3 e^{- 1.3 \cdot 0.74508637} + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 1.3$ に $0.74508637$ をかけます。

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{{(3 e^{- 0.96861228} + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{{(3 (\frac{1}{e^{0.96861228}}) + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.2.3

$3$ と $\frac{1}{e^{0.96861228}}$ をまとめます。

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{{(\frac{3}{e^{0.96861228}} + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.2.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{{(\frac{3}{e^{0.96861228}} + \frac{e^{0.96861228}}{e^{0.96861228}})}^{4}}$

ステップ 5.2.2.5

公分母の分子をまとめます。

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{{(\frac{3 + e^{0.96861228}}{e^{0.96861228}})}^{4}}$

ステップ 5.2.2.6

積の法則を $\frac{3 + e^{0.96861228}}{e^{0.96861228}}$ に当てはめます。

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{\frac{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}}{{(e^{0.96861228})}^{4}}}$

ステップ 5.2.2.7

${(e^{0.96861228})}^{4}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.7.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{\frac{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}}{e^{0.96861228 \cdot 4}}}$

ステップ 5.2.2.7.2

$0.96861228$ に $4$ をかけます。

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{\frac{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}}{e^{3.87444915}}}$

ステップ 5.2.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$f'' (0.74508637) = 13.71546177 (\frac{e^{3.87444915}}{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}})$

ステップ 5.2.4

$13.71546177 \frac{e^{3.87444915}}{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$13.71546177$ と $\frac{e^{3.87444915}}{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}}$ をまとめます。

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177 e^{3.87444915}}{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}}$

ステップ 5.2.4.2

$13.71546177$ に $e^{3.87444915}$ をかけます。

$f'' (0.74508637) = \frac{660.48403172}{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}}$

ステップ 5.2.5

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (0.74508637) = \frac{660.48403172}{{(3 + {2.71828182}^{0.96861228})}^{4}}$

ステップ 5.2.6

$2.71828182$ を $0.96861228$ 乗します。

$f'' (0.74508637) = \frac{660.48403172}{{(3 + 2.63428629)}^{4}}$

ステップ 5.2.7

$3$ と $2.63428629$ をたし算します。

$f'' (0.74508637) = \frac{660.48403172}{{5.63428629}^{4}}$

ステップ 5.2.8

$5.63428629$ を $4$ 乗します。

$f'' (0.74508637) = \frac{660.48403172}{1007.75658204}$

ステップ 5.2.9

$660.48403172$ を $1007.75658204$ で割ります。

$f'' (0.74508637) = 0.65540036$

ステップ 5.2.10

最終的な答えは $0.65540036$ です。

$0.65540036$

ステップ 5.3

$0.74508637$ で二次導関数は $0.65540036$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, 0.84508637)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, 0.84508637)$ で増加

ステップ 6

区間 $(0.84508637, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.94508637$ で置換えます。

$f'' (0.94508637) = \frac{121.68 (9 e^{- 3.9 \cdot 0.94508637} - e^{- 1.3 \cdot 0.94508637})}{{(3 e^{- 1.3 \cdot 0.94508637} + 1)}^{4}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$121.68$ に $9 e^{- 3.9 \cdot 0.94508637} - e^{- 1.3 \cdot 0.94508637}$ をかけます。

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{{(3 e^{- 1.3 \cdot 0.94508637} + 1)}^{4}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 1.3$ に $0.94508637$ をかけます。

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{{(3 e^{- 1.22861228} + 1)}^{4}}$

ステップ 6.2.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{{(3 (\frac{1}{e^{1.22861228}}) + 1)}^{4}}$

ステップ 6.2.2.3

$3$ と $\frac{1}{e^{1.22861228}}$ をまとめます。

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{{(\frac{3}{e^{1.22861228}} + 1)}^{4}}$

ステップ 6.2.2.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{{(\frac{3}{e^{1.22861228}} + \frac{e^{1.22861228}}{e^{1.22861228}})}^{4}}$

ステップ 6.2.2.5

公分母の分子をまとめます。

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{{(\frac{3 + e^{1.22861228}}{e^{1.22861228}})}^{4}}$

ステップ 6.2.2.6

積の法則を $\frac{3 + e^{1.22861228}}{e^{1.22861228}}$ に当てはめます。

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{\frac{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}{{(e^{1.22861228})}^{4}}}$

ステップ 6.2.2.7

${(e^{1.22861228})}^{4}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.7.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{\frac{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}{e^{1.22861228 \cdot 4}}}$

ステップ 6.2.2.7.2

$1.22861228$ に $4$ をかけます。

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{\frac{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}{e^{4.91444915}}}$

ステップ 6.2.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$f'' (0.94508637) = - 8.15412384 \frac{e^{4.91444915}}{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}$

ステップ 6.2.4

$- 8.15412384 \frac{e^{4.91444915}}{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1

$- 8.15412384$ と $\frac{e^{4.91444915}}{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}$ をまとめます。

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384 e^{4.91444915}}{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}$

ステップ 6.2.4.2

$- 8.15412384$ に $e^{4.91444915}$ をかけます。

$f'' (0.94508637) = \frac{- 1110.95240355}{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}$

ステップ 6.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (0.94508637) = - \frac{1110.95240355}{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}$

ステップ 6.2.6

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (0.94508637) = - \frac{1110.95240355}{{(3 + {2.71828182}^{1.22861228})}^{4}}$

ステップ 6.2.7

$2.71828182$ を $1.22861228$ 乗します。

$f'' (0.94508637) = - \frac{1110.95240355}{{(3 + 3.41648514)}^{4}}$

ステップ 6.2.8

$3$ と $3.41648514$ をたし算します。

$f'' (0.94508637) = - \frac{1110.95240355}{{6.41648514}^{4}}$

ステップ 6.2.9

$6.41648514$ を $4$ 乗します。

$f'' (0.94508637) = - \frac{1110.95240355}{1695.07443516}$

ステップ 6.2.10

$1110.95240355$ を $1695.07443516$ で割ります。

$f'' (0.94508637) = - 1 \cdot 0.65540036$

ステップ 6.2.11

$- 1$ に $0.65540036$ をかけます。

$f'' (0.94508637) = - 0.65540036$

ステップ 6.2.12

最終的な答えは $- 0.65540036$ です。

$- 0.65540036$

ステップ 6.3

$0.94508637$ で二次導関数は $- 0.65540036$ です。これは負の値なので、 $(0.84508637, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(0.84508637, \infty)$ で減少

ステップ 7

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(0.84508637, \frac{24 e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3})$ です。

$(0.84508637, \frac{24 e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3})$

ステップ 8

代数 例

代数例