代数例

$\frac{3 z^{11} + 3 z^{5}}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

ステップ 1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1

$3 z^{5}$ を $3 z^{11} + 3 z^{5}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$3 z^{5}$ を $3 z^{11}$ で因数分解します。

$\frac{3 z^{5} (z^{6}) + 3 z^{5}}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

ステップ 1.1.2

$3 z^{5}$ を $3 z^{5}$ で因数分解します。

$\frac{3 z^{5} (z^{6}) + 3 z^{5} (1)}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

ステップ 1.1.3

$3 z^{5}$ を $3 z^{5} (z^{6}) + 3 z^{5} (1)$ で因数分解します。

$\frac{3 z^{5} (z^{6} + 1)}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

ステップ 1.2

$z^{6}$ を ${(z^{2})}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{3 z^{5} ({(z^{2})}^{3} + 1)}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

ステップ 1.3

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{3 z^{5} ({(z^{2})}^{3} + 1^{3})}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

ステップ 1.4

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = z^{2}$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) ({(z^{2})}^{2} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

${(z^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.5.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) (z^{2 \cdot 2} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

ステップ 1.5.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

ステップ 1.5.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1^{2}))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

ステップ 1.5.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

ステップ 2

分母を簡約します。

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ステップ 2.1

$z^{12}$ を ${(z^{6})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{{(z^{6})}^{2} + 4 z^{6} + 3}$

ステップ 2.2

$u = z^{6}$ とします。 $u$ を $z^{6}$ に代入します。

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{u^{2} + 4 u + 3}$

ステップ 2.3

たすき掛けを利用して $u^{2} + 4 u + 3$ を因数分解します。

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ステップ 2.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $3$ で、その和が $4$ です。

$1, 3$

ステップ 2.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(u + 1) (u + 3)}$

ステップ 2.4

$u$ のすべての発生を $z^{6}$ で置き換えます。

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{6} + 1) (z^{6} + 3)}$

ステップ 2.5

$z^{6}$ を ${(z^{2})}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{({(z^{2})}^{3} + 1) (z^{6} + 3)}$

ステップ 2.6

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{({(z^{2})}^{3} + 1^{3}) (z^{6} + 3)}$

ステップ 2.7

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) ({(z^{2})}^{2} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}) (z^{6} + 3)}$

ステップ 2.8

簡約します。

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ステップ 2.8.1

${(z^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.8.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{2 \cdot 2} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}) (z^{6} + 3)}$

ステップ 2.8.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}) (z^{6} + 3)}$

ステップ 2.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1^{2}) (z^{6} + 3)}$

ステップ 2.8.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1) (z^{6} + 3)}$

ステップ 3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 3.1

$z^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1) (z^{6} + 3)}$

ステップ 3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{3 z^{5} (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{4} - z^{2} + 1) (z^{6} + 3)}$

ステップ 3.2

$z^{4} - z^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 z^{5} (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{4} - z^{2} + 1) (z^{6} + 3)}$

ステップ 3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{3 z^{5}}{z^{6} + 3}$

代数 例

代数例