代数例

$y = x \sqrt{2 - x^{2}}$

ステップ 1

$y = x \sqrt{2 - x^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = x \sqrt{2 - x^{2}}$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 - x^{2}}$ を ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 2.1.1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 2 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 - x^{2}$ とします。

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.3.3

$u$ のすべての発生を $2 - x^{2}$ で置き換えます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.6

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.8.1

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = x (\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.8.4

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 - x^{2}) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.9

総和則では、 $2 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.10

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.11

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.12

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.13

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.14

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.14.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.14.2

$- 2$ と $\frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.14.3

$\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.15

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.16

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.17

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.18

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.19

$2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.20

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.20.1

$2$ を $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.20.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.20.3

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.21

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.1.22

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

ステップ 2.1.1.23

${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.1.1.24

${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.1.25

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.1.26

指数を足して ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.26.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.1.26.2

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.1.26.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.1.26.4

$2$ を $2$ で割ります。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 2 - x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.1.27

${(2 - x^{2})}^{1}$ を簡約します。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 2 - x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.1.28

$- x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.1.29

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$f (x) = - 2 x^{2} + 2$ および $g (x) = {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.2

${({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2.2.2.2

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.3

簡約します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

総和則では、 $- 2 x^{2} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.4.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.4.4

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.4.5

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.4.6

$- 4 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.5

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = - x^{2} + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x^{2} + 2$ とします。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.5.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.5.3

$u$ のすべての発生を $- x^{2} + 2$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.8

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.10

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.10.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.10.2

$\frac{1}{2}$ と ${(- x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{{(- x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.10.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(- x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.11

総和則では、 $- x^{2} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)))}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.12

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2)))}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.13

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (2)))}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.14

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (2)))}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.15

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.16

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.16.1

$- 2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.16.2

$- 2$ と $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.16.3

$\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.16.4

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.17

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.17.1

$2$ を $2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.17.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.17.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{- x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.18

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.19

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + 1 (- 2 x^{2} + 2) (\frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.20

$- 2 x^{2} + 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + (- 2 x^{2} + 2) (\frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.21.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.21.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 2) (\frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.2

$- 2 x^{2} + 2$ に $\frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.21.1.3.1

$2$ を $- 2 x^{2} + 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.21.1.3.1.1

$2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.3.1.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (1)) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.3.1.3

$2$ を $2 (- x^{2}) + 2 (1)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 1) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.3.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 1^{2}) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.3.3

$- x^{2}$ と $1^{2}$ を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (1^{2} - x^{2}) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.3.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.4

$- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.5

$- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x$ と $\frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.6

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + 2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.7

因数分解した形で $\frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + 2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.21.1.7.1

$2 x$ を $- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + 2 (1 + x) (1 - x) x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.21.1.7.1.1

$2 x$ を $- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.7.1.2

$2 x$ を $2 (1 + x) (1 - x) x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x ((1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.7.1.3

$2 x$ を $2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x ((1 + x) (1 - x))$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.7.2

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.21.1.7.2.1

指数を足して ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.21.1.7.2.1.1

${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 ({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.7.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.7.2.1.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.7.2.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.7.2.1.5

$2$ を $2$ で割ります。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 2) + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.7.2.2

$- 2 {(- x^{2} + 2)}^{1}$ を簡約します。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 2) + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.21.1.8.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2}) - 2 \cdot 2 + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.8.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 2 \cdot 2 + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.8.3

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.8.4

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + x) (1 - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.21.1.8.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 (1 - x) + x (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.8.4.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.8.4.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.8.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.21.1.8.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.21.1.8.5.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.8.5.1.2

$- x$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x \cdot 1 + x (- x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.8.5.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x + x (- x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.8.5.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x - x \cdot x)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.8.5.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.21.1.8.5.1.5.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x - (x \cdot x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.8.5.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x - x^{2})}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.8.5.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 + 0 - x^{2})}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.8.5.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x^{2})}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.8.6

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 4 + 1)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.1.8.7

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.21.2.1

$\frac{\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$ を積として書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2.21.2.2

$\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{- x^{2} + 2}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 2)}$

ステップ 2.1.2.21.2.3

指数を足して ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ に $- x^{2} + 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.21.2.3.1

${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ に $- x^{2} + 2$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.21.2.3.1.1

$- x^{2} + 2$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 2)}$

ステップ 2.1.2.21.2.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

ステップ 2.1.2.21.2.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

ステップ 2.1.2.21.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

ステップ 2.1.2.21.2.3.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ です。

$\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

ステップ 2.2.2

分子を0に等しくします。

$2 x (x^{2} - 3) = 0$

ステップ 2.2.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

ステップ 2.2.3.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.2.3.3

$x^{2} - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1

$x^{2} - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 3 = 0$

ステップ 2.2.3.3.2

$x$ について $x^{2} - 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x^{2} = 3$

ステップ 2.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

ステップ 2.2.3.3.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{3}$

ステップ 2.2.3.3.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{3}$

ステップ 2.2.3.3.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 2.2.3.4

最終解は $2 x (x^{2} - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 2.2.4

$\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ が真にならない解を除外します。

$x = 0$

ステップ 3

$f (x) = x \sqrt{2 - x^{2}}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\sqrt{2 - x^{2}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$2 - x^{2} \geq 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

不等式の両辺から $2$ を引きます。

$- x^{2} \geq - 2$

ステップ 3.2.2

$- x^{2} \geq - 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$- x^{2} \geq - 2$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 3.2.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 3.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.3.1

$- 2$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} \leq 2$

ステップ 3.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

ステップ 3.2.4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \leq \sqrt{2}$

ステップ 3.2.5

$| x | \leq \sqrt{2}$ を区分で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 3.2.5.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x \leq \sqrt{2}$

ステップ 3.2.5.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 3.2.5.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x \leq \sqrt{2}$

ステップ 3.2.5.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

ステップ 3.2.6

$x \leq \sqrt{2}$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

ステップ 3.2.7

$x < 0$ のとき、 $- x \leq \sqrt{2}$ を解きます。

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ステップ 3.2.7.1

$- x \leq \sqrt{2}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.7.1.1

$- x \leq \sqrt{2}$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

ステップ 3.2.7.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.7.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

ステップ 3.2.7.1.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

ステップ 3.2.7.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.7.1.3.1

$\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

ステップ 3.2.7.1.3.2

$- 1 \cdot \sqrt{2}$ を $- \sqrt{2}$ に書き換えます。

$x \geq - \sqrt{2}$

ステップ 3.2.7.2

$x \geq - \sqrt{2}$ と $x < 0$ の交点を求めます。

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

ステップ 3.2.8

解の和集合を求めます。

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

ステップ 3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

集合の内包的記法：

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

区間記号：

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

集合の内包的記法：

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$[- \sqrt{2}, 0) \cup (0, \sqrt{2}]$

ステップ 5

区間 $[- \sqrt{2}, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f'' (- 1) = \frac{2 (- 1) ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(- {(- 1)}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(- {(- 1)}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1.1

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1.1

$- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1.1.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{((- 1) {(- 1)}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 5.2.2.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{1 + 2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 5.2.2.1.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{3} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 5.2.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(- 1 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 5.2.2.2

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{1^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 5.2.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{1}$

ステップ 5.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1) = \frac{- 2 (1 - 3)}{1}$

ステップ 5.2.3.2

$1$ から $3$ を引きます。

$f'' (- 1) = \frac{- 2 \cdot - 2}{1}$

ステップ 5.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (- 1) = \frac{4}{1}$

ステップ 5.2.4.2

$4$ を $1$ で割ります。

$f'' (- 1) = 4$

ステップ 5.2.5

最終的な答えは $4$ です。

$4$

ステップ 5.3

$f'' (- 1)$ が正なので、区間 $[- \sqrt{2}, 0)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $[- \sqrt{2}, 0)$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(0, \sqrt{2}]$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f'' (1) = \frac{2 (1) ({(1)}^{2} - 3)}{{(- {(1)}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{{(- 1^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{{(- 1 \cdot 1 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6.2.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{{(- 1 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6.2.2.2

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{1^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6.2.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{1}$

ステップ 6.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (1) = \frac{2 (1 - 3)}{1}$

ステップ 6.2.3.2

$1$ から $3$ を引きます。

$f'' (1) = \frac{2 \cdot - 2}{1}$

ステップ 6.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (1) = \frac{- 4}{1}$

ステップ 6.2.4.2

$- 4$ を $1$ で割ります。

$f'' (1) = - 4$

ステップ 6.2.5

最終的な答えは $- 4$ です。

$- 4$

ステップ 6.3

$f'' (1)$ が負なので、区間 $(0, \sqrt{2}]$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(0, \sqrt{2}]$ で下に凹します。

ステップ 7

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $[- \sqrt{2}, 0)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(0, \sqrt{2}]$ で下に凹します。

ステップ 8

代数 例

代数例