代数例

$(- 3, 125)$

ステップ 1

点を含む指数関数 $f (x) = a^{x}$ を求めるために、関数の $f (x)$ を点の $y$ 値 $125$ とし、 $x$ を点の $x$ 値 $- 3$ とします。

$125 = a^{- 3}$

ステップ 2

$a$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $a^{- 3} = 125$ として書き換えます。

$a^{- 3} = 125$

ステップ 2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{a^{3}} = 125$

ステップ 2.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$a^{3}, 1$

ステップ 2.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$a^{3}$

ステップ 2.4

$\frac{1}{a^{3}} = 125$ の各項に $a^{3}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\frac{1}{a^{3}} = 125$ の各項に $a^{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{a^{3}} a^{3} = 125 a^{3}$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$a^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{a^{3}} a^{3} = 125 a^{3}$

ステップ 2.4.2.1.2

式を書き換えます。

$1 = 125 a^{3}$

ステップ 2.5

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

方程式を $125 a^{3} = 1$ として書き換えます。

$125 a^{3} = 1$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$125 a^{3} - 1 = 0$

ステップ 2.5.3

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1

$125 a^{3}$ を ${(5 a)}^{3}$ に書き換えます。

${(5 a)}^{3} - 1 = 0$

ステップ 2.5.3.2

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

${(5 a)}^{3} - 1^{3} = 0$

ステップ 2.5.3.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 5 a$ であり、 $b = 1$ です。

$(5 a - 1) ({(5 a)}^{2} + 5 a \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 2.5.3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.4.1

積の法則を $5 a$ に当てはめます。

$(5 a - 1) (5^{2} a^{2} + 5 a \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 2.5.3.4.2

$5$ を $2$ 乗します。

$(5 a - 1) (25 a^{2} + 5 a \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 2.5.3.4.3

$5$ に $1$ をかけます。

$(5 a - 1) (25 a^{2} + 5 a + 1^{2}) = 0$

ステップ 2.5.3.4.4

1のすべての数の累乗は1です。

$(5 a - 1) (25 a^{2} + 5 a + 1) = 0$

ステップ 2.5.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$5 a - 1 = 0$

$25 a^{2} + 5 a + 1 = 0$

ステップ 2.5.5

$5 a - 1$ を $0$ に等しくし、 $a$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.1

$5 a - 1$ が $0$ に等しいとします。

$5 a - 1 = 0$

ステップ 2.5.5.2

$a$ について $5 a - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$5 a = 1$

ステップ 2.5.5.2.2

$5 a = 1$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.2.2.1

$5 a = 1$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 a}{5} = \frac{1}{5}$

ステップ 2.5.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.2.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 a}{5} = \frac{1}{5}$

ステップ 2.5.5.2.2.2.1.2

$a$ を $1$ で割ります。

$a = \frac{1}{5}$

ステップ 2.5.6

$25 a^{2} + 5 a + 1$ を $0$ に等しくし、 $a$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.1

$25 a^{2} + 5 a + 1$ が $0$ に等しいとします。

$25 a^{2} + 5 a + 1 = 0$

ステップ 2.5.6.2

$a$ について $25 a^{2} + 5 a + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.5.6.2.2

$a = 25$ 、 $b = 5$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $a$ の値を求めます。

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (25 \cdot 1)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.3.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$a = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25 \cdot 1}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 25 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $25$ をかけます。

$a = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100 \cdot 1}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.3.1.2.2

$- 100$ に $1$ をかけます。

$a = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.3.1.3

$25$ から $100$ を引きます。

$a = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.3.1.4

$- 75$ を $- 1 (75)$ に書き換えます。

$a = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (75)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ に書き換えます。

$a = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$a = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.3.1.7

$75$ を $5^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.3.1.7.1

$25$ を $75$ で因数分解します。

$a = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.3.1.7.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$a = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$a = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.3.1.9

$5$ を $i$ の左に移動させます。

$a = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.3.2

$2$ に $25$ をかけます。

$a = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{50}$

ステップ 2.5.6.2.3.3

$\frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{50}$ を簡約します。

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{10}$

ステップ 2.5.6.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.4.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$a = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25 \cdot 1}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 25 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.4.1.2.1

$- 4$ に $25$ をかけます。

$a = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100 \cdot 1}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.4.1.2.2

$- 100$ に $1$ をかけます。

$a = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.4.1.3

$25$ から $100$ を引きます。

$a = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.4.1.4

$- 75$ を $- 1 (75)$ に書き換えます。

$a = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (75)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ に書き換えます。

$a = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$a = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.4.1.7

$75$ を $5^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.4.1.7.1

$25$ を $75$ で因数分解します。

$a = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.4.1.7.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$a = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$a = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.4.1.9

$5$ を $i$ の左に移動させます。

$a = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.4.2

$2$ に $25$ をかけます。

$a = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{50}$

ステップ 2.5.6.2.4.3

$\frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{50}$ を簡約します。

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{10}$

ステップ 2.5.6.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$a = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{10}$

ステップ 2.5.6.2.4.5

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$a = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{10}$

ステップ 2.5.6.2.4.6

$- 1$ を $i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{10}$

ステップ 2.5.6.2.4.7

$- 1$ を $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$a = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{10}$

ステップ 2.5.6.2.4.8

分数の前に負数を移動させます。

$a = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{10}$

ステップ 2.5.6.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.5.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$a = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25 \cdot 1}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 25 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.5.1.2.1

$- 4$ に $25$ をかけます。

$a = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100 \cdot 1}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.5.1.2.2

$- 100$ に $1$ をかけます。

$a = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.5.1.3

$25$ から $100$ を引きます。

$a = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.5.1.4

$- 75$ を $- 1 (75)$ に書き換えます。

$a = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (75)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ に書き換えます。

$a = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$a = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.5.1.7

$75$ を $5^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.5.1.7.1

$25$ を $75$ で因数分解します。

$a = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.5.1.7.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$a = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$a = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.5.1.9

$5$ を $i$ の左に移動させます。

$a = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.5.6.2.5.2

$2$ に $25$ をかけます。

$a = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{50}$

ステップ 2.5.6.2.5.3

$\frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{50}$ を簡約します。

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{10}$

ステップ 2.5.6.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$a = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{10}$

ステップ 2.5.6.2.5.5

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{10}$

ステップ 2.5.6.2.5.6

$- 1$ を $- i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{10}$

ステップ 2.5.6.2.5.7

$- 1$ を $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$a = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{10}$

ステップ 2.5.6.2.5.8

分数の前に負数を移動させます。

$a = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{10}$

ステップ 2.5.6.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$a = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{10}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{10}$

ステップ 2.5.7

最終解は $(5 a - 1) (25 a^{2} + 5 a + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$a = \frac{1}{5}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{10}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{10}$

ステップ 2.6

虚数成分を含む値をすべて削除します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

虚数成分はありません。最終の答えに $\frac{1}{5}$ を足します。

$\frac{1}{5}$ は実数です

ステップ 2.6.2

文字 $i$ は虚数成分を表し、実数ではありません。 $- \frac{1 - i \sqrt{3}}{10}$ を最終の答えに加えてはいけません。

$- \frac{1 - i \sqrt{3}}{10}$ は実数ではありません

ステップ 2.6.3

文字 $i$ は虚数成分を表し、実数ではありません。 $- \frac{1 + i \sqrt{3}}{10}$ を最終の答えに加えてはいけません。

$- \frac{1 + i \sqrt{3}}{10}$ は実数ではありません

ステップ 2.6.4

最終的な答えは虚数成分を含まない値のリストです。

$a = \frac{1}{5}$

ステップ 3

各値を $a$ に代入し、関数 $f (x) = a^{x}$ に戻し、それぞれの可能な指数関数を求めます。

$f (x) = {(\frac{1}{5})}^{x}$

代数 例

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