代数例

$f (x) = {({1.25}^{\frac{x}{4}})}^{16}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

${({1.25}^{\frac{x}{4}})}^{16}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{\frac{x}{4} \cdot 16}]$

ステップ 1.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{\frac{x}{4} \cdot (4 (4))}]$

ステップ 1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{\frac{x}{4} \cdot (4 \cdot 4)}]$

ステップ 1.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{x \cdot 4}]$

ステップ 1.1.3

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{4 x}]$

ステップ 1.2

$f (x) = {1.25}^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [{1.25}^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 1.2.2

$a$ = $1.25$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

${1.25}^{u} \ln (1.25) \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

${1.25}^{4 x} \ln (1.25) \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

${1.25}^{4 x} \ln (1.25) (4 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${1.25}^{4 x} \ln (1.25) (4 \cdot 1)$

ステップ 1.3.3

式を簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

$4$ に $1$ をかけます。

${1.25}^{4 x} \ln (1.25) \cdot 4$

ステップ 1.3.3.2

$4$ を ${1.25}^{4 x} \ln (1.25)$ の左に移動させます。

$f' (x) = 4 \cdot {1.25}^{4 x} \ln (1.25)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$4 \ln (1.25)$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \cdot {1.25}^{4 x} \ln (1.25)$ の微分係数は $4 \ln (1.25) \frac{d}{d x} [{1.25}^{4 x}]$ です。

$4 \ln (1.25) \frac{d}{d x} [{1.25}^{4 x}]$

ステップ 2.2

$f (x) = {1.25}^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x$ とします。

$4 \ln (1.25) (\frac{d}{d u} [{1.25}^{u}] \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 2.2.2

$a$ = $1.25$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$4 \ln (1.25) ({1.25}^{u} \ln (1.25) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$4 \ln (1.25) ({1.25}^{4 x} \ln (1.25) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 2.3

$\ln (1.25)$ を $1$ 乗します。

$4 ({1.25}^{4 x} (\ln^{1} (1.25) \ln (1.25)) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 2.4

$\ln (1.25)$ を $1$ 乗します。

$4 ({1.25}^{4 x} (\ln^{1} (1.25) \ln^{1} (1.25)) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 ({1.25}^{4 x} {\ln (1.25)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 ({1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 2.7

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \cdot {1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25) (4 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.8

$4$ に $4$ をかけます。

$16 \cdot {1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$16 \cdot {1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25) \cdot 1$

ステップ 2.10

$16$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 16 \cdot {1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25)$

ステップ 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $16 \cdot ({1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25))$ です。

$16 \cdot ({1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25))$

代数 例

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