代数例

$f (x) = 2 e^{x} - 3 x e^{x}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 2 e^{x} - 3 x e^{x} d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 2 e^{x} d x + \int - 3 x e^{x} d x$

ステップ 4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int e^{x} d x + \int - 3 x e^{x} d x$

ステップ 5

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$2 (e^{x} + C) + \int - 3 x e^{x} d x$

ステップ 6

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$2 (e^{x} + C) - 3 \int x e^{x} d x$

ステップ 7

$u = x$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$2 (e^{x} + C) - 3 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

ステップ 8

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$2 (e^{x} + C) - 3 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

簡約します。

$2 e^{x} - 3 x e^{x} + 3 e^{x} + C$

ステップ 9.2

$2 e^{x}$ と $3 e^{x}$ をたし算します。

$- 3 x e^{x} + 5 e^{x} + C$

$- 3 x e^{x} + 5 e^{x} + C$

ステップ 10

答えは関数 $f (x) = 2 e^{x} - 3 x e^{x}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- 3 x e^{x} + 5 e^{x} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$