代数例

$5 x + 4 y = 8$ , $6 x - 3 y = 33$

ステップ 1

連立方程式から $A X = B$ を求めます。

$[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 6 & - 3 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 33 \end{array}]$

ステップ 2

係数行列の逆を求めます。

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ステップ 2.1

$2 \times 2$ 行列の逆行列は公式 $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ を利用して求めることができます。ここで、 $a d - b c$ は行列式です。

ステップ 2.2

行列式を求めます。

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ステップ 2.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$5 \cdot - 3 - 6 \cdot 4$

ステップ 2.2.2

行列式を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$5$ に $- 3$ をかけます。

$- 15 - 6 \cdot 4$

ステップ 2.2.2.1.2

$- 6$ に $4$ をかけます。

$- 15 - 24$

ステップ 2.2.2.2

$- 15$ から $24$ を引きます。

$- 39$

ステップ 2.3

行列式がゼロではないので、逆行列が存在します。

ステップ 2.4

既知の値を逆数の公式に代入します。

$\frac{1}{- 39} [\begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 6 & 5 \end{array}]$

ステップ 2.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{39} [\begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 6 & 5 \end{array}]$

ステップ 2.6

$- \frac{1}{39}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{39} \cdot - 3 & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 2.7

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.7.1.1

$- \frac{1}{39}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{39} \cdot - 3 & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 2.7.1.2

$3$ を $39$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 (13)} \cdot - 3 & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 2.7.1.3

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 \cdot 13} \cdot (3 \cdot - 1) & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 2.7.1.4

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 \cdot 13} \cdot (3 \cdot - 1) & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 2.7.1.5

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{13} \cdot - 1 & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 2.7.2

$\frac{- 1}{13}$ と $- 1$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{- - 1}{13} & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 2.7.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 2.7.4

$- \frac{1}{39} \cdot - 4$ を掛けます。

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ステップ 2.7.4.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & 4 (\frac{1}{39}) \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 2.7.4.2

$4$ と $\frac{1}{39}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 2.7.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.7.5.1

$- \frac{1}{39}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 2.7.5.2

$3$ を $39$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{3 (13)} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 2.7.5.3

$3$ を $- 6$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{3 \cdot 13} \cdot (3 \cdot - 2) & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 2.7.5.4

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{3 \cdot 13} \cdot (3 \cdot - 2) & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 2.7.5.5

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{13} \cdot - 2 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 2.7.6

$\frac{- 1}{13}$ と $- 2$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- - 2}{13} & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 2.7.7

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 2.7.8

$- \frac{1}{39} \cdot 5$ を掛けます。

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ステップ 2.7.8.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - 5 (\frac{1}{39}) \end{array}]$

ステップ 2.7.8.2

$- 5$ と $\frac{1}{39}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & \frac{- 5}{39} \end{array}]$

ステップ 2.7.9

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}]$

ステップ 3

行列式の両辺に逆行列を左掛けします。

$([\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 6 & - 3 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 8 \\ 33 \end{array}]$

ステップ 4

逆行列を掛けた行列は常に $1$ と等しくなります。 $A \cdot A^{- 1} = 1$ です。

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 8 \\ 33 \end{array}]$

ステップ 5

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}] [\begin{array}{c} 8 \\ 33 \end{array}]$ を掛けます。

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ステップ 5.1

2つの行列は、第一の行列の列数が第二の行列の行数に等しい場合のみ、乗算できます。ここでは第一の行列は $2 \times 2$ 、第二の行列は $2 \times 1$ です。

ステップ 5.2

1番目の行列の各行と2番目の行列の各列を掛けます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} \cdot 8 + \frac{4}{39} \cdot 33 \\ \frac{2}{13} \cdot 8 - \frac{5}{39} \cdot 33 \end{array}]$

ステップ 5.3

すべての式を掛けて、行列の各要素を簡約します。

$[\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \end{array}]$

ステップ 6

左辺と右辺を簡約します。

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \end{array}]$

ステップ 7

解を求めます。

$x = 4$

$y = - 3$

代数 例

代数例