代数例

$\sqrt[3]{2} (\cos (120) + i \sin (120))$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\sqrt[3]{2} (- \cos (60) + i \sin (120))$

ステップ 1.2

$\cos (60)$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\sqrt[3]{2} (- \frac{1}{2} + i \sin (120))$

ステップ 1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\sqrt[3]{2} (- \frac{1}{2} + i \sin (60))$

ステップ 1.4

$\sin (60)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\sqrt[3]{2} (- \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 1.5

$i$ と $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をまとめます。

$\sqrt[3]{2} (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$\sqrt[3]{2} (- \frac{1}{2}) + \sqrt[3]{2} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.2

$\sqrt[3]{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \sqrt[3]{2} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 3

$\sqrt[3]{2} \frac{i \sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

$\sqrt[3]{2}$ と $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ をまとめます。

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} (i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 3.2

最小共通指数 $6$ を利用して式を書き換えます。

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ステップ 3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{3^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2} i}{2}$

ステップ 3.2.2

$3^{\frac{1}{2}}$ を $3^{\frac{3}{6}}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{3^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{2} i}{2}$

ステップ 3.2.3

$3^{\frac{3}{6}}$ を $\sqrt[6]{3^{3}}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3^{3}} \sqrt[3]{2} i}{2}$

ステップ 3.2.4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{2}$ を $2^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3^{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} i}{2}$

ステップ 3.2.5

$2^{\frac{1}{3}}$ を $2^{\frac{2}{6}}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3^{3}} \cdot 2^{\frac{2}{6}} i}{2}$

ステップ 3.2.6

$2^{\frac{2}{6}}$ を $\sqrt[6]{2^{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3^{3}} \sqrt[6]{2^{2}} i}{2}$

ステップ 3.3

根の積の法則を使ってまとめます。

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3^{3} \cdot 2^{2}} i}{2}$

ステップ 3.4

$3$ を $3$ 乗します。

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{27 \cdot 2^{2}} i}{2}$

ステップ 3.5

$2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{27 \cdot 4} i}{2}$

ステップ 3.6

$27$ に $4$ をかけます。

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{108} i}{2}$

代数 例

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