代数例

${(\sqrt{3} (\cos (\frac{5 π}{12}) + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

ステップ 1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\cos (\frac{5 π}{12})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$\frac{5 π}{12}$ を6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。

${(\sqrt{3} (\cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

ステップ 1.1.2

角の和の公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ を当てはめます。

${(\sqrt{3} (\cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

ステップ 1.1.3

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

ステップ 1.1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

ステップ 1.1.5

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

ステップ 1.1.6

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

ステップ 1.1.7

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1.1

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1.1.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

ステップ 1.1.7.1.1.2

根の積の法則を使ってまとめます。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

ステップ 1.1.7.1.1.3

$3$ に $2$ をかけます。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

ステップ 1.1.7.1.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

ステップ 1.1.7.1.2

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1.2.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

ステップ 1.1.7.1.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

ステップ 1.1.7.2

公分母の分子をまとめます。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

ステップ 1.2

$\sin (\frac{5 π}{12})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ です。

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ステップ 1.2.1

$\frac{5 π}{12}$ を6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})))}^{4}$

ステップ 1.2.2

角の和の公式を当てはめます。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))))}^{4}$

ステップ 1.2.3

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{1}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))))}^{4}$

ステップ 1.2.4

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))))}^{4}$

ステップ 1.2.5

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{π}{4}))))}^{4}$

ステップ 1.2.6

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})))}^{4}$

ステップ 1.2.7

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.7.1.1

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.7.1.1.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})))}^{4}$

ステップ 1.2.7.1.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})))}^{4}$

ステップ 1.2.7.1.2

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.7.1.2.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})))}^{4}$

ステップ 1.2.7.1.2.2

根の積の法則を使ってまとめます。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})))}^{4}$

ステップ 1.2.7.1.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})))}^{4}$

ステップ 1.2.7.1.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})))}^{4}$

ステップ 1.2.7.2

公分母の分子をまとめます。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}))}^{4}$

ステップ 1.3

$i$ と $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ をまとめます。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{i (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4}))}^{4}$

ステップ 2

分数をまとめます。

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ステップ 2.1

公分母の分子をまとめます。

${(\sqrt{3} \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6}}{4})}^{4}$

ステップ 2.2

$\sqrt{3}$ と $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6}}{4}$ をまとめます。

${(\frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}{4})}^{4}$

ステップ 3

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 3.1

積の法則を $\frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}{4}$ に当てはめます。

$\frac{{(\sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6}))}^{4}}{4^{4}}$

ステップ 3.2

積の法則を $\sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})$ に当てはめます。

$\frac{{\sqrt{3}}^{4} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

${\sqrt{3}}^{4}$ を $3^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

ステップ 4.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

ステップ 4.1.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{3^{\frac{4}{2}} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

ステップ 4.1.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

ステップ 4.1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

ステップ 4.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

ステップ 4.1.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3^{\frac{2}{1}} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

ステップ 4.1.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$\frac{3^{2} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

ステップ 4.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{9 {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

ステップ 5

$4$ を $4$ 乗します。

$\frac{9 {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{256}$

代数 例

代数例