代数例

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18$

ステップ 1

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

ステップ 2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$3 x^{2} + 4 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} + 4 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 4 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]$

ステップ 2.3.3

$- 9$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} + 4 x - 9 + \frac{d}{d x} [- 18]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 18$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 18$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 4 x - 9 + 0$

ステップ 2.4.2

$3 x^{2} + 4 x - 9$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} + 4 x - 9$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $3 x^{2} + 4 x - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

ステップ 3.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 6 x + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 9)$

ステップ 3.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + 4 + \frac{d}{d x} (- 9)$

ステップ 3.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 6 x + 4 + 0$

ステップ 3.4.2

$6 x + 4$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 x + 4$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3 x^{2} + 4 x - 9 = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

総和則では、 $x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (- 18)$

ステップ 5.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (- 18)$

ステップ 5.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (- 18)$

ステップ 5.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (- 18)$

ステップ 5.1.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (- 18)$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x - 9 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 18)$

ステップ 5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 18)$

ステップ 5.1.3.3

$- 9$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x - 9 + \frac{d}{d x} (- 18)$

ステップ 5.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$- 18$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 18$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x - 9 + 0$

ステップ 5.1.4.2

$3 x^{2} + 4 x - 9$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x - 9$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} + 4 x - 9$ です。

$3 x^{2} + 4 x - 9$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} + 4 x - 9 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} + 4 x - 9 = 0$

ステップ 6.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6.3

$a = 3$ 、 $b = 4$ 、および $c = - 9$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 9)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.4.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 9$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.4.1.2.2

$- 12$ に $- 9$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 108}}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.4.1.3

$16$ と $108$ をたし算します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.4.1.4

$124$ を $2^{2} \cdot 31$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.4.1

$4$ を $124$ で因数分解します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$

ステップ 6.4.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{31}}{3}$

ステップ 6.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.5.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 9$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.5.1.2.2

$- 12$ に $- 9$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 108}}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.5.1.3

$16$ と $108$ をたし算します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.5.1.4

$124$ を $2^{2} \cdot 31$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1.4.1

$4$ を $124$ で因数分解します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.5.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$

ステップ 6.5.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{31}}{3}$

ステップ 6.5.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 2 + \sqrt{31}}{3}$

ステップ 6.5.5

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{31}}{3}$

ステップ 6.5.6

$- 1$ を $\sqrt{31}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{31})}{3}$

ステップ 6.5.7

$- 1$ を $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{31})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (2 - \sqrt{31})}{3}$

ステップ 6.5.8

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{2 - \sqrt{31}}{3}$

ステップ 6.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.6.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 9$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.6.1.2.2

$- 12$ に $- 9$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 108}}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.6.1.3

$16$ と $108$ をたし算します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.6.1.4

$124$ を $2^{2} \cdot 31$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1.4.1

$4$ を $124$ で因数分解します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$

ステップ 6.6.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{31}}{3}$

ステップ 6.6.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 2 - \sqrt{31}}{3}$

ステップ 6.6.5

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{31}}{3}$

ステップ 6.6.6

$- 1$ を $- \sqrt{31}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{31})}{3}$

ステップ 6.6.7

$- 1$ を $- 1 (2) - (\sqrt{31})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (2 + \sqrt{31})}{3}$

ステップ 6.6.8

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{2 + \sqrt{31}}{3}$

ステップ 6.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{2 - \sqrt{31}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{31}}{3}$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = - \frac{2 - \sqrt{31}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{31}}{3}$

ステップ 9

$x = - \frac{2 - \sqrt{31}}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) + 4$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1.1

$- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$6 \frac{- (2 - \sqrt{31})}{3} + 4$

ステップ 10.1.1.2

$3$ を $6$ で因数分解します。

$3 (2) \frac{- (2 - \sqrt{31})}{3} + 4$

ステップ 10.1.1.3

共通因数を約分します。

$3 \cdot 2 \frac{- (2 - \sqrt{31})}{3} + 4$

ステップ 10.1.1.4

式を書き換えます。

$2 (- (2 - \sqrt{31})) + 4$

ステップ 10.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 (2 - \sqrt{31}) + 4$

ステップ 10.1.3

分配則を当てはめます。

$- 2 \cdot 2 - 2 (- \sqrt{31}) + 4$

ステップ 10.1.4

$- 2$ に $2$ をかけます。

$- 4 - 2 (- \sqrt{31}) + 4$

ステップ 10.1.5

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$- 4 + 2 \sqrt{31} + 4$

ステップ 10.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$0 + 2 \sqrt{31}$

ステップ 10.2.2

$0$ と $2 \sqrt{31}$ をたし算します。

$2 \sqrt{31}$

ステップ 11

$x = - \frac{2 - \sqrt{31}}{3}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{2 - \sqrt{31}}{3}$ は極小値です

ステップ 12

$x = - \frac{2 - \sqrt{31}}{3}$ のときy値を求めます。

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ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}$ で置換えます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{3} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{3} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.1.2

積の法則を $\frac{2 - \sqrt{31}}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{{(2 - \sqrt{31})}^{3}}{3^{3}}) + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{{(2 - \sqrt{31})}^{3}}{3^{3}} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.3

$3$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{{(2 - \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.4

二項定理を利用します。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{2^{3} + 3 \cdot (2^{2} (- \sqrt{31})) + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{31})}^{2}) + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.5.1

$2$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 3 \cdot (2^{2} (- \sqrt{31})) + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{31})}^{2}) + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.5.2

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 3 \cdot (4 (- \sqrt{31})) + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{31})}^{2}) + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.5.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 (- \sqrt{31}) + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{31})}^{2}) + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.5.4

$- 1$ に $12$ をかけます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{31})}^{2}) + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.5.5

$3$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 6 {(- \sqrt{31})}^{2} + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.5.6

積の法則を $- \sqrt{31}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{31}}^{2}) + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.5.7

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 6 (1 {\sqrt{31}}^{2}) + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.5.8

${\sqrt{31}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 6 {\sqrt{31}}^{2} + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.5.9

${\sqrt{31}}^{2}$ を $31$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.5.9.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{31}$ を $31^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 6 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.5.9.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 6 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.5.9.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 6 \cdot 31^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.5.9.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.5.9.4.1

共通因数を約分します。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 6 \cdot 31^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.5.9.4.2

式を書き換えます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 6 \cdot 31 + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.5.9.5

指数を求めます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 6 \cdot 31 + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.5.10

$6$ に $31$ をかけます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 186 + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.5.11

積の法則を $- \sqrt{31}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 186 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{31}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.5.12

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 186 - {\sqrt{31}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.5.13

${\sqrt{31}}^{3}$ を $\sqrt{31^{3}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 186 - \sqrt{31^{3}}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.5.14

$31$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 186 - \sqrt{29791}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.5.15

$29791$ を $31^{2} \cdot 31$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.5.15.1

$961$ を $29791$ で因数分解します。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 186 - \sqrt{961 (31)}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.5.15.2

$961$ を $31^{2}$ に書き換えます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 186 - \sqrt{31^{2} \cdot 31}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.5.16

累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 186 - (31 \sqrt{31})}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.5.17

$31$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 186 - 31 \sqrt{31}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.6

$8$ と $186$ をたし算します。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 12 \sqrt{31} - 31 \sqrt{31}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.7

$- 12 \sqrt{31}$ から $31 \sqrt{31}$ を引きます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.8

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.8.1

積の法則を $- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.8.2

積の法則を $\frac{2 - \sqrt{31}}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(2 - \sqrt{31})}^{2}}{3^{2}})) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.9

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (1 (\frac{{(2 - \sqrt{31})}^{2}}{3^{2}})) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.10

$\frac{{(2 - \sqrt{31})}^{2}}{3^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{{(2 - \sqrt{31})}^{2}}{3^{2}}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.11

$3$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{{(2 - \sqrt{31})}^{2}}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.12

${(2 - \sqrt{31})}^{2}$ を $(2 - \sqrt{31}) (2 - \sqrt{31})$ に書き換えます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{(2 - \sqrt{31}) (2 - \sqrt{31})}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.13

分配法則（FOIL法）を使って $(2 - \sqrt{31}) (2 - \sqrt{31})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.13.1

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{2 (2 - \sqrt{31}) - \sqrt{31} (2 - \sqrt{31})}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.13.2

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{31}) - \sqrt{31} (2 - \sqrt{31})}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.13.3

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{31}) - \sqrt{31} \cdot 2 - \sqrt{31} (- \sqrt{31})}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.14

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.14.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 + 2 (- \sqrt{31}) - \sqrt{31} \cdot 2 - \sqrt{31} (- \sqrt{31})}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.14.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{31} - \sqrt{31} \cdot 2 - \sqrt{31} (- \sqrt{31})}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.14.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} - \sqrt{31} (- \sqrt{31})}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.14.1.4

$- \sqrt{31} (- \sqrt{31})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.14.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} + 1 \sqrt{31} \sqrt{31}}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.14.1.4.2

$\sqrt{31}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} + \sqrt{31} \sqrt{31}}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.14.1.4.3

$\sqrt{31}$ を $1$ 乗します。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} + \sqrt{31} \sqrt{31}}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.14.1.4.4

$\sqrt{31}$ を $1$ 乗します。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} + \sqrt{31} \sqrt{31}}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.14.1.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} + {\sqrt{31}}^{1 + 1}}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.14.1.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} + {\sqrt{31}}^{2}}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.14.1.5

${\sqrt{31}}^{2}$ を $31$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.14.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{31}$ を $31^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} + {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.14.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} + 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.14.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} + 31^{\frac{2}{2}}}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.14.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.14.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} + 31^{\frac{2}{2}}}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.14.1.5.4.2

式を書き換えます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} + 31}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.14.1.5.5

指数を求めます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} + 31}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.14.2

$4$ と $31$ をたし算します。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{35 - 2 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31}}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.14.3

$- 2 \sqrt{31}$ から $2 \sqrt{31}$ を引きます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{35 - 4 \sqrt{31}}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.15

$2$ と $\frac{35 - 4 \sqrt{31}}{9}$ をまとめます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 - 4 \sqrt{31})}{9} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.16

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.16.1

$- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 - 4 \sqrt{31})}{9} - 9 \frac{- (2 - \sqrt{31})}{3} - 18$

ステップ 12.2.1.16.2

$3$ を $- 9$ で因数分解します。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 - 4 \sqrt{31})}{9} + 3 (- 3) (\frac{- (2 - \sqrt{31})}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.16.3

共通因数を約分します。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 - 4 \sqrt{31})}{9} + 3 \cdot (- 3 \frac{- (2 - \sqrt{31})}{3}) - 18$

ステップ 12.2.1.16.4

式を書き換えます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 - 4 \sqrt{31})}{9} - 3 (- (2 - \sqrt{31})) - 18$

ステップ 12.2.1.17

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 - 4 \sqrt{31})}{9} + 3 (2 - \sqrt{31}) - 18$

ステップ 12.2.1.18

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 - 4 \sqrt{31})}{9} + 3 \cdot 2 + 3 (- \sqrt{31}) - 18$

ステップ 12.2.1.19

$3$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 - 4 \sqrt{31})}{9} + 6 + 3 (- \sqrt{31}) - 18$

ステップ 12.2.1.20

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 - 4 \sqrt{31})}{9} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 12.2.2

$\frac{2 (35 - 4 \sqrt{31})}{9}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 - 4 \sqrt{31})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 12.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $27$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.3.1

$\frac{2 (35 - 4 \sqrt{31})}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 - 4 \sqrt{31}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 12.2.3.2

$9$ に $3$ をかけます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 - 4 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 12.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- (194 - 43 \sqrt{31}) + 2 (35 - 4 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 12.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.5.1

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 194 - (- 43 \sqrt{31}) + 2 (35 - 4 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 12.2.5.2

$- 1$ に $194$ をかけます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 - (- 43 \sqrt{31}) + 2 (35 - 4 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 12.2.5.3

$- 43$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 + 43 \sqrt{31} + 2 (35 - 4 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 12.2.5.4

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 + 43 \sqrt{31} + (2 \cdot 35 + 2 (- 4 \sqrt{31})) \cdot 3}{27} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 12.2.5.5

$2$ に $35$ をかけます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 + 43 \sqrt{31} + (70 + 2 (- 4 \sqrt{31})) \cdot 3}{27} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 12.2.5.6

$- 4$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 + 43 \sqrt{31} + (70 - 8 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 12.2.5.7

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 + 43 \sqrt{31} + 70 \cdot 3 - 8 \sqrt{31} \cdot 3}{27} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 12.2.5.8

$70$ に $3$ をかけます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 + 43 \sqrt{31} + 210 - 8 \sqrt{31} \cdot 3}{27} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 12.2.5.9

$3$ に $- 8$ をかけます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 + 43 \sqrt{31} + 210 - 24 \sqrt{31}}{27} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 12.2.5.10

$- 194$ と $210$ をたし算します。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{16 + 43 \sqrt{31} - 24 \sqrt{31}}{27} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 12.2.5.11

$43 \sqrt{31}$ から $24 \sqrt{31}$ を引きます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{16 + 19 \sqrt{31}}{27} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 12.2.6

$6$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{27}{27}$ を掛けます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{16 + 19 \sqrt{31}}{27} + 6 \cdot \frac{27}{27} - 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 12.2.7

$6$ と $\frac{27}{27}$ をまとめます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{16 + 19 \sqrt{31}}{27} + \frac{6 \cdot 27}{27} - 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 12.2.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.8.1

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{16 + 19 \sqrt{31} + 6 \cdot 27}{27} - 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 12.2.8.2

$6$ に $27$ をかけます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{16 + 19 \sqrt{31} + 162}{27} - 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 12.2.8.3

$16$ と $162$ をたし算します。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 + 19 \sqrt{31}}{27} - 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 12.2.9

$- 3 \sqrt{31}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{27}{27}$ を掛けます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 + 19 \sqrt{31}}{27} - 3 \sqrt{31} \cdot \frac{27}{27} - 18$

ステップ 12.2.10

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.10.1

$- 3 \sqrt{31}$ と $\frac{27}{27}$ をまとめます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 + 19 \sqrt{31}}{27} + \frac{- 3 \sqrt{31} \cdot 27}{27} - 18$

ステップ 12.2.10.2

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 + 19 \sqrt{31} - 3 \sqrt{31} \cdot 27}{27} - 18$

ステップ 12.2.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.11.1

$27$ に $- 3$ をかけます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 + 19 \sqrt{31} - 81 \sqrt{31}}{27} - 18$

ステップ 12.2.11.2

$19 \sqrt{31}$ から $81 \sqrt{31}$ を引きます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 - 62 \sqrt{31}}{27} - 18$

ステップ 12.2.12

$- 18$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{27}{27}$ を掛けます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 - 62 \sqrt{31}}{27} - 18 \cdot \frac{27}{27}$

ステップ 12.2.13

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.13.1

$- 18$ と $\frac{27}{27}$ をまとめます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 - 62 \sqrt{31}}{27} + \frac{- 18 \cdot 27}{27}$

ステップ 12.2.13.2

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 - 62 \sqrt{31} - 18 \cdot 27}{27}$

ステップ 12.2.14

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.14.1

$- 18$ に $27$ をかけます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 - 62 \sqrt{31} - 486}{27}$

ステップ 12.2.14.2

$178$ から $486$ を引きます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 308 - 62 \sqrt{31}}{27}$

ステップ 12.2.15

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.15.1

$- 308$ を $- 1 (308)$ に書き換えます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 308 - 62 \sqrt{31}}{27}$

ステップ 12.2.15.2

$- 1$ を $- 62 \sqrt{31}$ で因数分解します。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 308 - (62 \sqrt{31})}{27}$

ステップ 12.2.15.3

$- 1$ を $- 1 (308) - (62 \sqrt{31})$ で因数分解します。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1 (308 + 62 \sqrt{31})}{27}$

ステップ 12.2.15.4

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{308 + 62 \sqrt{31}}{27}$

ステップ 12.2.16

最終的な答えは $- \frac{308 + 62 \sqrt{31}}{27}$ です。

$y = - \frac{308 + 62 \sqrt{31}}{27}$

ステップ 13

$x = - \frac{2 + \sqrt{31}}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) + 4$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1.1

$- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$6 \frac{- (2 + \sqrt{31})}{3} + 4$

ステップ 14.1.1.2

$3$ を $6$ で因数分解します。

$3 (2) \frac{- (2 + \sqrt{31})}{3} + 4$

ステップ 14.1.1.3

共通因数を約分します。

$3 \cdot 2 \frac{- (2 + \sqrt{31})}{3} + 4$

ステップ 14.1.1.4

式を書き換えます。

$2 (- (2 + \sqrt{31})) + 4$

ステップ 14.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 (2 + \sqrt{31}) + 4$

ステップ 14.1.3

分配則を当てはめます。

$- 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{31} + 4$

ステップ 14.1.4

$- 2$ に $2$ をかけます。

$- 4 - 2 \sqrt{31} + 4$

ステップ 14.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$0 - 2 \sqrt{31}$

ステップ 14.2.2

$0$ から $2 \sqrt{31}$ を引きます。

$- 2 \sqrt{31}$

ステップ 15

$x = - \frac{2 + \sqrt{31}}{3}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{2 + \sqrt{31}}{3}$ は極大値です

ステップ 16

$x = - \frac{2 + \sqrt{31}}{3}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}$ で置換えます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{3} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{3} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.1.2

積の法則を $\frac{2 + \sqrt{31}}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{{(2 + \sqrt{31})}^{3}}{3^{3}}) + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{{(2 + \sqrt{31})}^{3}}{3^{3}} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.3

$3$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{{(2 + \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.4

二項定理を利用します。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{2^{3} + 3 \cdot (2^{2} \sqrt{31}) + 3 \cdot (2 {\sqrt{31}}^{2}) + {\sqrt{31}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.5.1

$2$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 3 \cdot (2^{2} \sqrt{31}) + 3 \cdot (2 {\sqrt{31}}^{2}) + {\sqrt{31}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.5.2

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 3 \cdot (4 \sqrt{31}) + 3 \cdot (2 {\sqrt{31}}^{2}) + {\sqrt{31}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.5.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{31} + 3 \cdot (2 {\sqrt{31}}^{2}) + {\sqrt{31}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.5.4

$3$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{31} + 6 {\sqrt{31}}^{2} + {\sqrt{31}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.5.5

${\sqrt{31}}^{2}$ を $31$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.5.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{31}$ を $31^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{31} + 6 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{31}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.5.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{31} + 6 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{31}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.5.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{31} + 6 \cdot 31^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{31}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.5.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.5.5.4.1

共通因数を約分します。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{31} + 6 \cdot 31^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{31}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.5.5.4.2

式を書き換えます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{31} + 6 \cdot 31 + {\sqrt{31}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.5.5.5

指数を求めます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{31} + 6 \cdot 31 + {\sqrt{31}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.5.6

$6$ に $31$ をかけます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{31} + 186 + {\sqrt{31}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.5.7

${\sqrt{31}}^{3}$ を $\sqrt{31^{3}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{31} + 186 + \sqrt{31^{3}}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.5.8

$31$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{31} + 186 + \sqrt{29791}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.5.9

$29791$ を $31^{2} \cdot 31$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.5.9.1

$961$ を $29791$ で因数分解します。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{31} + 186 + \sqrt{961 (31)}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.5.9.2

$961$ を $31^{2}$ に書き換えます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{31} + 186 + \sqrt{31^{2} \cdot 31}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.5.10

累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{31} + 186 + 31 \sqrt{31}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.6

$8$ と $186$ をたし算します。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 12 \sqrt{31} + 31 \sqrt{31}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.7

$12 \sqrt{31}$ と $31 \sqrt{31}$ をたし算します。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.8

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.8.1

積の法則を $- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.8.2

積の法則を $\frac{2 + \sqrt{31}}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(2 + \sqrt{31})}^{2}}{3^{2}})) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.9

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (1 (\frac{{(2 + \sqrt{31})}^{2}}{3^{2}})) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.10

$\frac{{(2 + \sqrt{31})}^{2}}{3^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{{(2 + \sqrt{31})}^{2}}{3^{2}}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.11

$3$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{{(2 + \sqrt{31})}^{2}}{9}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.12

${(2 + \sqrt{31})}^{2}$ を $(2 + \sqrt{31}) (2 + \sqrt{31})$ に書き換えます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{(2 + \sqrt{31}) (2 + \sqrt{31})}{9}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.13

分配法則（FOIL法）を使って $(2 + \sqrt{31}) (2 + \sqrt{31})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.13.1

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{2 (2 + \sqrt{31}) + \sqrt{31} (2 + \sqrt{31})}{9}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.13.2

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{31} + \sqrt{31} (2 + \sqrt{31})}{9}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.13.3

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{31} + \sqrt{31} \cdot 2 + \sqrt{31} \sqrt{31}}{9}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.14

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.14.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 + 2 \sqrt{31} + \sqrt{31} \cdot 2 + \sqrt{31} \sqrt{31}}{9}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.14.1.2

$2$ を $\sqrt{31}$ の左に移動させます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 + 2 \sqrt{31} + 2 \cdot \sqrt{31} + \sqrt{31} \sqrt{31}}{9}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.14.1.3

根の積の法則を使ってまとめます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 + 2 \sqrt{31} + 2 \sqrt{31} + \sqrt{31 \cdot 31}}{9}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.14.1.4

$31$ に $31$ をかけます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 + 2 \sqrt{31} + 2 \sqrt{31} + \sqrt{961}}{9}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.14.1.5

$961$ を $31^{2}$ に書き換えます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 + 2 \sqrt{31} + 2 \sqrt{31} + \sqrt{31^{2}}}{9}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.14.1.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 + 2 \sqrt{31} + 2 \sqrt{31} + 31}{9}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.14.2

$4$ と $31$ をたし算します。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{35 + 2 \sqrt{31} + 2 \sqrt{31}}{9}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.14.3

$2 \sqrt{31}$ と $2 \sqrt{31}$ をたし算します。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{35 + 4 \sqrt{31}}{9}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.15

$2$ と $\frac{35 + 4 \sqrt{31}}{9}$ をまとめます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 + 4 \sqrt{31})}{9} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.16

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.16.1

$- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 + 4 \sqrt{31})}{9} - 9 \frac{- (2 + \sqrt{31})}{3} - 18$

ステップ 16.2.1.16.2

$3$ を $- 9$ で因数分解します。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 + 4 \sqrt{31})}{9} + 3 (- 3) (\frac{- (2 + \sqrt{31})}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.16.3

共通因数を約分します。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 + 4 \sqrt{31})}{9} + 3 \cdot (- 3 \frac{- (2 + \sqrt{31})}{3}) - 18$

ステップ 16.2.1.16.4

式を書き換えます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 + 4 \sqrt{31})}{9} - 3 (- (2 + \sqrt{31})) - 18$

ステップ 16.2.1.17

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 + 4 \sqrt{31})}{9} + 3 (2 + \sqrt{31}) - 18$

ステップ 16.2.1.18

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 + 4 \sqrt{31})}{9} + 3 \cdot 2 + 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 16.2.1.19

$3$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 + 4 \sqrt{31})}{9} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 16.2.2

$\frac{2 (35 + 4 \sqrt{31})}{9}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 + 4 \sqrt{31})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 16.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $27$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.3.1

$\frac{2 (35 + 4 \sqrt{31})}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 + 4 \sqrt{31}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 16.2.3.2

$9$ に $3$ をかけます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 + 4 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 16.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- (194 + 43 \sqrt{31}) + 2 (35 + 4 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 16.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.5.1

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 194 - (43 \sqrt{31}) + 2 (35 + 4 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 16.2.5.2

$- 1$ に $194$ をかけます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 - (43 \sqrt{31}) + 2 (35 + 4 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 16.2.5.3

$43$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 - 43 \sqrt{31} + 2 (35 + 4 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 16.2.5.4

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 - 43 \sqrt{31} + (2 \cdot 35 + 2 (4 \sqrt{31})) \cdot 3}{27} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 16.2.5.5

$2$ に $35$ をかけます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 - 43 \sqrt{31} + (70 + 2 (4 \sqrt{31})) \cdot 3}{27} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 16.2.5.6

$4$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 - 43 \sqrt{31} + (70 + 8 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 16.2.5.7

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 - 43 \sqrt{31} + 70 \cdot 3 + 8 \sqrt{31} \cdot 3}{27} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 16.2.5.8

$70$ に $3$ をかけます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 - 43 \sqrt{31} + 210 + 8 \sqrt{31} \cdot 3}{27} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 16.2.5.9

$3$ に $8$ をかけます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 - 43 \sqrt{31} + 210 + 24 \sqrt{31}}{27} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 16.2.5.10

$- 194$ と $210$ をたし算します。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{16 - 43 \sqrt{31} + 24 \sqrt{31}}{27} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 16.2.5.11

$- 43 \sqrt{31}$ と $24 \sqrt{31}$ をたし算します。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{16 - 19 \sqrt{31}}{27} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 16.2.6

$6$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{27}{27}$ を掛けます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{16 - 19 \sqrt{31}}{27} + 6 \cdot \frac{27}{27} + 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 16.2.7

$6$ と $\frac{27}{27}$ をまとめます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{16 - 19 \sqrt{31}}{27} + \frac{6 \cdot 27}{27} + 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 16.2.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.8.1

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{16 - 19 \sqrt{31} + 6 \cdot 27}{27} + 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 16.2.8.2

$6$ に $27$ をかけます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{16 - 19 \sqrt{31} + 162}{27} + 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 16.2.8.3

$16$ と $162$ をたし算します。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 - 19 \sqrt{31}}{27} + 3 \sqrt{31} - 18$

ステップ 16.2.9

$3 \sqrt{31}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{27}{27}$ を掛けます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 - 19 \sqrt{31}}{27} + 3 \sqrt{31} \cdot \frac{27}{27} - 18$

ステップ 16.2.10

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.10.1

$3 \sqrt{31}$ と $\frac{27}{27}$ をまとめます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 - 19 \sqrt{31}}{27} + \frac{3 \sqrt{31} \cdot 27}{27} - 18$

ステップ 16.2.10.2

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 - 19 \sqrt{31} + 3 \sqrt{31} \cdot 27}{27} - 18$

ステップ 16.2.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.11.1

$27$ に $3$ をかけます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 - 19 \sqrt{31} + 81 \sqrt{31}}{27} - 18$

ステップ 16.2.11.2

$- 19 \sqrt{31}$ と $81 \sqrt{31}$ をたし算します。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 + 62 \sqrt{31}}{27} - 18$

ステップ 16.2.12

$- 18$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{27}{27}$ を掛けます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 + 62 \sqrt{31}}{27} - 18 \cdot \frac{27}{27}$

ステップ 16.2.13

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.13.1

$- 18$ と $\frac{27}{27}$ をまとめます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 + 62 \sqrt{31}}{27} + \frac{- 18 \cdot 27}{27}$

ステップ 16.2.13.2

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 + 62 \sqrt{31} - 18 \cdot 27}{27}$

ステップ 16.2.14

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.14.1

$- 18$ に $27$ をかけます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 + 62 \sqrt{31} - 486}{27}$

ステップ 16.2.14.2

$178$ から $486$ を引きます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 308 + 62 \sqrt{31}}{27}$

ステップ 16.2.15

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.15.1

$- 308$ を $- 1 (308)$ に書き換えます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 308 + 62 \sqrt{31}}{27}$

ステップ 16.2.15.2

$- 1$ を $62 \sqrt{31}$ で因数分解します。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 308 - (- 62 \sqrt{31})}{27}$

ステップ 16.2.15.3

$- 1$ を $- 1 (308) - (- 62 \sqrt{31})$ で因数分解します。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1 (308 - 62 \sqrt{31})}{27}$

ステップ 16.2.15.4

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{308 - 62 \sqrt{31}}{27}$

ステップ 16.2.16

最終的な答えは $- \frac{308 - 62 \sqrt{31}}{27}$ です。

$y = - \frac{308 - 62 \sqrt{31}}{27}$

ステップ 17

$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18$ の極値です。

$(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}, - \frac{308 + 62 \sqrt{31}}{27})$ は極小値です

$(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}, - \frac{308 - 62 \sqrt{31}}{27})$ は極大値です

ステップ 18

代数 例

代数例