代数例

$y = x^{4} - 8 x^{3} + 22 x^{2} - 24 x + 9$

ステップ 1

$y = x^{4} - 8 x^{3} + 22 x^{2} - 24 x + 9$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 22 x^{2} - 24 x + 9$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{4} - 8 x^{3} + 22 x^{2} - 24 x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [22 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [22 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [22 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x^{3}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [22 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [22 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.2.3

$3$ に $- 8$ をかけます。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [22 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [22 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$22$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $22 x^{2}$ の微分係数は $22 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 22 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 22 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.3.3

$2$ に $22$ をかけます。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 44 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- 24 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 24 x$ の微分係数は $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 44 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 44 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.4.3

$- 24$ に $1$ をかけます。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 44 x - 24 + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 44 x - 24 + 0$

ステップ 2.5.2

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 44 x - 24$ と $0$ をたし算します。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 44 x - 24$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $4 x^{3} - 24 x^{2} + 44 x - 24$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [44 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (44 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (44 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

ステップ 3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (44 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

ステップ 3.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (44 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 24 x^{2}$ の微分係数は $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (44 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

ステップ 3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (44 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

ステップ 3.3.3

$2$ に $- 24$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} (44 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [44 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$44$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $44 x$ の微分係数は $44 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 44 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

ステップ 3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 44 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 24)$

ステップ 3.4.3

$44$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 44 + \frac{d}{d x} (- 24)$

ステップ 3.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$- 24$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 24$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 44 + 0$

ステップ 3.5.2

$12 x^{2} - 48 x + 44$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 44$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 44 x - 24 = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (22 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 5.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (22 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 5.1.2

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x^{3}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (22 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 5.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (22 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 5.1.2.3

$3$ に $- 8$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (22 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [22 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$22$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $22 x^{2}$ の微分係数は $22 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 22 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 5.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 22 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 5.1.3.3

$2$ に $22$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 44 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 5.1.4

$\frac{d}{d x} [- 24 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$- 24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 24 x$ の微分係数は $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 44 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 5.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 44 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 5.1.4.3

$- 24$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 44 x - 24 + \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 5.1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.5.1

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 44 x - 24 + 0$

ステップ 5.1.5.2

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 44 x - 24$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 44 x - 24$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 24 x^{2} + 44 x - 24$ です。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 44 x - 24$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 24 x^{2} + 44 x - 24 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 44 x - 24 = 0$

ステップ 6.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 6.2.1

$4$ を $4 x^{3} - 24 x^{2} + 44 x - 24$ で因数分解します。

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ステップ 6.2.1.1

$4$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 (x^{3}) - 24 x^{2} + 44 x - 24 = 0$

ステップ 6.2.1.2

$4$ を $- 24 x^{2}$ で因数分解します。

$4 (x^{3}) + 4 (- 6 x^{2}) + 44 x - 24 = 0$

ステップ 6.2.1.3

$4$ を $44 x$ で因数分解します。

$4 (x^{3}) + 4 (- 6 x^{2}) + 4 (11 x) - 24 = 0$

ステップ 6.2.1.4

$4$ を $- 24$ で因数分解します。

$4 x^{3} + 4 (- 6 x^{2}) + 4 (11 x) + 4 \cdot - 6 = 0$

ステップ 6.2.1.5

$4$ を $4 x^{3} + 4 (- 6 x^{2})$ で因数分解します。

$4 (x^{3} - 6 x^{2}) + 4 (11 x) + 4 \cdot - 6 = 0$

ステップ 6.2.1.6

$4$ を $4 (x^{3} - 6 x^{2}) + 4 (11 x)$ で因数分解します。

$4 (x^{3} - 6 x^{2} + 11 x) + 4 \cdot - 6 = 0$

ステップ 6.2.1.7

$4$ を $4 (x^{3} - 6 x^{2} + 11 x) + 4 \cdot - 6$ で因数分解します。

$4 (x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6) = 0$

ステップ 6.2.2

有理根検定を用いて $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ を因数分解します。

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ステップ 6.2.2.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

ステップ 6.2.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

ステップ 6.2.2.3

$1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $1$ は多項式の根です。

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ステップ 6.2.2.3.1

$1$ を多項式に代入します。

$1^{3} - 6 \cdot 1^{2} + 11 \cdot 1 - 6$

ステップ 6.2.2.3.2

$1$ を $3$ 乗します。

$1 - 6 \cdot 1^{2} + 11 \cdot 1 - 6$

ステップ 6.2.2.3.3

$1$ を $2$ 乗します。

$1 - 6 \cdot 1 + 11 \cdot 1 - 6$

ステップ 6.2.2.3.4

$- 6$ に $1$ をかけます。

$1 - 6 + 11 \cdot 1 - 6$

ステップ 6.2.2.3.5

$1$ から $6$ を引きます。

$- 5 + 11 \cdot 1 - 6$

ステップ 6.2.2.3.6

$11$ に $1$ をかけます。

$- 5 + 11 - 6$

ステップ 6.2.2.3.7

$- 5$ と $11$ をたし算します。

$6 - 6$

ステップ 6.2.2.3.8

$6$ から $6$ を引きます。

$0$

ステップ 6.2.2.4

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6}{x - 1}$

ステップ 6.2.2.5

$x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ を $x - 1$ で割ります。

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ステップ 6.2.2.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$6$

ステップ 6.2.2.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$

ステップ 6.2.2.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 6.2.2.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 6.2.2.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

ステップ 6.2.2.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$

ステップ 6.2.2.5.7

被除数 $- 5 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$

ステップ 6.2.2.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$

ステップ 6.2.2.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 5 x^{2} + 5 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$

ステップ 6.2.2.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$6 x$

ステップ 6.2.2.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

ステップ 6.2.2.5.12

被除数 $6 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

ステップ 6.2.2.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	-	$6$

ステップ 6.2.2.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $6 x - 6$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$

ステップ 6.2.2.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$
										$0$

ステップ 6.2.2.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 5 x + 6$

ステップ 6.2.2.6

$x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ を因数の集合として書き換えます。

$4 ((x - 1) (x^{2} - 5 x + 6)) = 0$

ステップ 6.2.3

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 5 x + 6$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 5 x + 6$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $6$ で、その和が $- 5$ です。

$- 3, - 2$

ステップ 6.2.3.1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$4 ((x - 1) ((x - 3) (x - 2))) = 0$

ステップ 6.2.3.1.2

不要な括弧を削除します。

$4 ((x - 1) (x - 3) (x - 2)) = 0$

ステップ 6.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$4 (x - 1) (x - 3) (x - 2) = 0$

ステップ 6.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 6.4

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 6.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 6.5

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 6.5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 6.6

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 6.6.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 6.7

最終解は $4 (x - 1) (x - 3) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, 3, 2$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 1, 3, 2$

ステップ 9

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(1)}^{2} - 48 \cdot 1 + 44$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$12 \cdot 1 - 48 \cdot 1 + 44$

ステップ 10.1.2

$12$ に $1$ をかけます。

$12 - 48 \cdot 1 + 44$

ステップ 10.1.3

$- 48$ に $1$ をかけます。

$12 - 48 + 44$

ステップ 10.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$12$ から $48$ を引きます。

$- 36 + 44$

ステップ 10.2.2

$- 36$ と $44$ をたし算します。

$8$

ステップ 11

$x = 1$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極小値です

ステップ 12

$x = 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = {(1)}^{4} - 8 {(1)}^{3} + 22 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 9$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - 8 {(1)}^{3} + 22 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 9$

ステップ 12.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - 8 \cdot 1 + 22 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 9$

ステップ 12.2.1.3

$- 8$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 1 - 8 + 22 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 9$

ステップ 12.2.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - 8 + 22 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 9$

ステップ 12.2.1.5

$22$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 1 - 8 + 22 - 24 \cdot 1 + 9$

ステップ 12.2.1.6

$- 24$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 1 - 8 + 22 - 24 + 9$

ステップ 12.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.2.1

$1$ から $8$ を引きます。

$f (1) = - 7 + 22 - 24 + 9$

ステップ 12.2.2.2

$- 7$ と $22$ をたし算します。

$f (1) = 15 - 24 + 9$

ステップ 12.2.2.3

$15$ から $24$ を引きます。

$f (1) = - 9 + 9$

ステップ 12.2.2.4

$- 9$ と $9$ をたし算します。

$f (1) = 0$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 13

$x = 3$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(3)}^{2} - 48 \cdot 3 + 44$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$12 \cdot 9 - 48 \cdot 3 + 44$

ステップ 14.1.2

$12$ に $9$ をかけます。

$108 - 48 \cdot 3 + 44$

ステップ 14.1.3

$- 48$ に $3$ をかけます。

$108 - 144 + 44$

ステップ 14.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

$108$ から $144$ を引きます。

$- 36 + 44$

ステップ 14.2.2

$- 36$ と $44$ をたし算します。

$8$

ステップ 15

$x = 3$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 3$ は極小値です

ステップ 16

$x = 3$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = {(3)}^{4} - 8 {(3)}^{3} + 22 {(3)}^{2} - 24 \cdot 3 + 9$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1

$3$ を $4$ 乗します。

$f (3) = 81 - 8 {(3)}^{3} + 22 {(3)}^{2} - 24 \cdot 3 + 9$

ステップ 16.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$f (3) = 81 - 8 \cdot 27 + 22 {(3)}^{2} - 24 \cdot 3 + 9$

ステップ 16.2.1.3

$- 8$ に $27$ をかけます。

$f (3) = 81 - 216 + 22 {(3)}^{2} - 24 \cdot 3 + 9$

ステップ 16.2.1.4

$3$ を $2$ 乗します。

$f (3) = 81 - 216 + 22 \cdot 9 - 24 \cdot 3 + 9$

ステップ 16.2.1.5

$22$ に $9$ をかけます。

$f (3) = 81 - 216 + 198 - 24 \cdot 3 + 9$

ステップ 16.2.1.6

$- 24$ に $3$ をかけます。

$f (3) = 81 - 216 + 198 - 72 + 9$

ステップ 16.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.2.1

$81$ から $216$ を引きます。

$f (3) = - 135 + 198 - 72 + 9$

ステップ 16.2.2.2

$- 135$ と $198$ をたし算します。

$f (3) = 63 - 72 + 9$

ステップ 16.2.2.3

$63$ から $72$ を引きます。

$f (3) = - 9 + 9$

ステップ 16.2.2.4

$- 9$ と $9$ をたし算します。

$f (3) = 0$

ステップ 16.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 17

$x = 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(2)}^{2} - 48 \cdot 2 + 44$

ステップ 18

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$12 \cdot 4 - 48 \cdot 2 + 44$

ステップ 18.1.2

$12$ に $4$ をかけます。

$48 - 48 \cdot 2 + 44$

ステップ 18.1.3

$- 48$ に $2$ をかけます。

$48 - 96 + 44$

ステップ 18.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.1

$48$ から $96$ を引きます。

$- 48 + 44$

ステップ 18.2.2

$- 48$ と $44$ をたし算します。

$- 4$

ステップ 19

$x = 2$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 2$ は極大値です

ステップ 20

$x = 2$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = {(2)}^{4} - 8 {(2)}^{3} + 22 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 9$

ステップ 20.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.1

$2$ を $4$ 乗します。

$f (2) = 16 - 8 {(2)}^{3} + 22 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 9$

ステップ 20.2.1.2

$2$ を $3$ 乗します。

$f (2) = 16 - 8 \cdot 8 + 22 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 9$

ステップ 20.2.1.3

$- 8$ に $8$ をかけます。

$f (2) = 16 - 64 + 22 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 9$

ステップ 20.2.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = 16 - 64 + 22 \cdot 4 - 24 \cdot 2 + 9$

ステップ 20.2.1.5

$22$ に $4$ をかけます。

$f (2) = 16 - 64 + 88 - 24 \cdot 2 + 9$

ステップ 20.2.1.6

$- 24$ に $2$ をかけます。

$f (2) = 16 - 64 + 88 - 48 + 9$

ステップ 20.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.2.1

$16$ から $64$ を引きます。

$f (2) = - 48 + 88 - 48 + 9$

ステップ 20.2.2.2

$- 48$ と $88$ をたし算します。

$f (2) = 40 - 48 + 9$

ステップ 20.2.2.3

$40$ から $48$ を引きます。

$f (2) = - 8 + 9$

ステップ 20.2.2.4

$- 8$ と $9$ をたし算します。

$f (2) = 1$

ステップ 20.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$y = 1$

ステップ 21

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 22 x^{2} - 24 x + 9$ の極値です。

$(1, 0)$ は極小値です

$(3, 0)$ は極小値です

$(2, 1)$ は極大値です

ステップ 22

代数 例

代数例