代数例

$\frac{x^{2}}{15} - \frac{y^{2}}{5} = 1$

ステップ 1

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{15} - \frac{y^{2}}{5} = 1$

ステップ 2

これは双曲線の標準形です。この形式を使って離心率を判定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = \sqrt{15}$

$b = \sqrt{5}$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 5

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{15})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

${\sqrt{15}}^{2}$ を $15$ に書き換えます。

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ステップ 6.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{15}$ を $15^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

ステップ 6.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

ステップ 6.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{15^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

ステップ 6.1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{15^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

ステップ 6.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{15^{1} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

ステップ 6.1.1.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{15 + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

ステップ 6.1.2

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 6.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{15 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

ステップ 6.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{15 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{15}}$

ステップ 6.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{15 + 5^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{15}}$

ステップ 6.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{15 + 5^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{15}}$

ステップ 6.1.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{15 + 5^{1}}}{\sqrt{15}}$

ステップ 6.1.2.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{15 + 5}}{\sqrt{15}}$

ステップ 6.1.3

$15$ と $5$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{15}}$

ステップ 6.1.4

$20$ を $2^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

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ステップ 6.1.4.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{\sqrt{15}}$

ステップ 6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{\sqrt{15}}$

ステップ 6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{15}}$

ステップ 6.2

$\sqrt{5}$ と $\sqrt{15}$ を単一根にまとめます。

$2 \sqrt{\frac{5}{15}}$

ステップ 6.3

$5$ と $15$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$2 \sqrt{\frac{5 (1)}{15}}$

ステップ 6.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1

$5$ を $15$ で因数分解します。

$2 \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 3}}$

ステップ 6.3.2.2

共通因数を約分します。

$2 \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 3}}$

ステップ 6.3.2.3

式を書き換えます。

$2 \sqrt{\frac{1}{3}}$

ステップ 6.4

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$2 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

ステップ 6.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$2 \frac{1}{\sqrt{3}}$

ステップ 6.6

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$2 (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

ステップ 6.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 6.7.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$2 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 6.7.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 6.7.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 6.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 6.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 6.7.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 6.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 6.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 6.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.7.6.4.2

式を書き換えます。

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 6.7.6.5

指数を求めます。

$2 \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 6.8

$2$ と $\frac{\sqrt{3}}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

10進法形式：

$1.15470053 \dots$

ステップ 8

代数 例

代数例