代数例

$y^{2} = 1 - 3 x^{2}$

ステップ 1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺に $3 x^{2}$ を足します。

$y^{2} + 3 x^{2} = 1$

ステップ 1.2

$y^{2}$ と $3 x^{2}$ を並べ替えます。

$3 x^{2} + y^{2} = 1$

ステップ 2

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{3}} + y^{2} = 1$

ステップ 3

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

ステップ 4

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = 1$

$b = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 5

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 6

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}}{1}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

式を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$

ステップ 7.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$

ステップ 7.1.3

積の法則を $\frac{\sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

$\sqrt{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}$

ステップ 7.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 7.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}$

ステップ 7.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}$

ステップ 7.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

ステップ 7.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

ステップ 7.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{1 - \frac{3^{1}}{3^{2}}}$

ステップ 7.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{1 - \frac{3}{3^{2}}}$

ステップ 7.3

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{1 - \frac{3}{9}}$

ステップ 7.4

$3$ と $9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\sqrt{1 - \frac{3 (1)}{9}}$

ステップ 7.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\sqrt{1 - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

ステップ 7.4.2.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{1 - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

ステップ 7.4.2.3

式を書き換えます。

$\sqrt{1 - \frac{1}{3}}$

ステップ 7.5

式を簡約します。

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ステップ 7.5.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

ステップ 7.5.2

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{3 - 1}{3}}$

ステップ 7.5.3

$3$ から $1$ を引きます。

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

ステップ 7.6

$\sqrt{\frac{2}{3}}$ を $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

ステップ 7.7

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 7.8

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 7.8.1

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 7.8.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 7.8.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 7.8.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 7.8.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 7.8.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 7.8.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 7.8.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 7.8.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.8.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.8.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.8.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 7.8.6.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

ステップ 7.9

分子を簡約します。

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ステップ 7.9.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

ステップ 7.9.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

10進法形式：

$0.81649658 \dots$

ステップ 9

代数 例

代数例