代数例

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1} = \tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1}$

ステップ 2

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 2.1

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{3} - 1}{\tan (x) - 1}$

ステップ 2.2

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{3} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}$

ステップ 2.3

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分数の分子と分母に ${\cos (x)}^{3}$ を掛けます。

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ステップ 3.1.1

$\frac{\frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}$ に $\frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$ をかけます。

$\frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} \cdot \frac{\frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}$

ステップ 3.1.2

まとめる。

$\frac{{\cos (x)}^{3} (\frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} - 1)}{{\cos (x)}^{3} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1)}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{{\cos (x)}^{3} \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{3} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

ステップ 3.3

約分で簡約します。

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ステップ 3.3.1

${\cos (x)}^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{{\cos (x)}^{3} \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{3} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

ステップ 3.3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{3} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

ステップ 3.3.2

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1

$\cos (x)$ を ${\cos (x)}^{3}$ で因数分解します。

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{\cos (x) {\cos (x)}^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

ステップ 3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{\cos (x) {\cos (x)}^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

ステップ 3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

ステップ 3.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.1

${\cos (x)}^{3} \cdot - 1$ を ${(\cos (x) \cdot - 1)}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{3}}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

ステップ 3.4.2

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \sin (x)$ であり、 $b = \cos (x) \cdot - 1$ です。

$\frac{(\sin (x) + \cos (x) \cdot - 1) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (\cos (x) \cdot - 1) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

ステップ 3.4.3

簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$- 1$ を $\cos (x)$ の左に移動させます。

$\frac{(\sin (x) - 1 \cdot \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (\cos (x) \cdot - 1) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

ステップ 3.4.3.2

$- 1 \cos (x)$ を $- \cos (x)$ に書き換えます。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (\cos (x) \cdot - 1) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

ステップ 3.4.3.3

$- 1$ を $\cos (x)$ の左に移動させます。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (- 1 \cdot \cos (x)) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

ステップ 3.4.3.4

$- 1 \cos (x)$ を $- \cos (x)$ に書き換えます。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (- \cos (x)) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

ステップ 3.4.3.5

$- \sin (x) (- \cos (x))$ を掛けます。

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ステップ 3.4.3.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + 1 \sin (x) \cos (x) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

ステップ 3.4.3.5.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

ステップ 3.4.3.6

$- 1$ を $\cos (x)$ の左に移動させます。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {(- 1 \cdot \cos (x))}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

ステップ 3.4.3.7

$- 1 \cos (x)$ を $- \cos (x)$ に書き換えます。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {(- \cos (x))}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

ステップ 3.4.3.8

積の法則を $- \cos (x)$ に当てはめます。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {(- 1)}^{2} {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

ステップ 3.4.3.9

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + 1 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

ステップ 3.4.3.10

${\cos (x)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

ステップ 3.5

分母を簡約します。

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ステップ 3.5.1

${\cos (x)}^{2}$ を ${\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.1.1

${\cos (x)}^{2}$ を ${\cos (x)}^{2} \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x)) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.2

${\cos (x)}^{2}$ を ${\cos (x)}^{3} \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x)) + {\cos (x)}^{2} (\cos (x) \cdot - 1)}$

ステップ 3.5.1.3

${\cos (x)}^{2}$ を ${\cos (x)}^{2} (\sin (x)) + {\cos (x)}^{2} (\cos (x) \cdot - 1)$ で因数分解します。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x) + \cos (x) \cdot - 1)}$

ステップ 3.5.2

$- 1$ を $\cos (x)$ の左に移動させます。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x) - 1 \cdot \cos (x))}$

ステップ 3.5.3

$- 1 \cos (x)$ を $- \cos (x)$ に書き換えます。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x) - \cos (x))}$

ステップ 3.6

$\sin (x) - \cos (x)$ の共通因数を約分します。

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4

項を並べ替えます。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 5

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ を $\tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$ に書き換えます。

$\tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$

ステップ 6

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1} = \tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$ は公式です

代数 例

代数例