代数例

$\sec (x) \csc (x) (\tan (x) + \cot (x)) = \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\sec (x) \csc (x) (\tan (x) + \cot (x))$

ステップ 2

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 2.1

$\sec (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{1}{\cos (x)} \csc (x) (\tan (x) + \cot (x))$

ステップ 2.2

$\csc (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} (\tan (x) + \cot (x))$

ステップ 2.3

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x))$

ステップ 2.4

商の恒等式を利用して $\cot (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $\frac{1}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.3

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sin (x) \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.4

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $\frac{1}{\cos (x)}$ をかけます。

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.5

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.6

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.9

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.9.1

$\cos (x)$ を $\cos (x) \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x) (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.9.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.9.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 3.10

$\frac{1}{\sin (x)}$ に $\frac{1}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x) \sin (x)}$

ステップ 3.11

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

ステップ 3.12

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

ステップ 3.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

ステップ 3.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 4

ここで、方程式の右辺を考えます。

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

ステップ 5

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 5.1

$\sec (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \csc^{2} (x)$

ステップ 5.2

$\csc (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

ステップ 5.3

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

ステップ 5.4

積の法則を $\frac{1}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 6

各項を簡約します。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 7

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\sec (x) \csc (x) (\tan (x) + \cot (x)) = \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$ は公式です

代数 例

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