代数例

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} - 1}$

ステップ 1

関数が奇関数、偶関数、またはそのどちらでもないか判定し、対称を求めます。

1. 奇数のとき、この関数は原点に対して対称です。

2. 偶数のとき、関数はy軸に対して対称です。

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分母を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} - 1^{2}}$

ステップ 2.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$f (x) = \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 2.2

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

共通因数を約分します。

$f (x) = \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 2.2.2

式を書き換えます。

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

ステップ 3

$f (- x)$ を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x)$ 内の $x$ の出現回数をすべて $- x$ に代入して $f (- x)$ を求めます。

$f (- x) = \frac{1}{(- x) + 1}$

ステップ 3.2

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$f (- x) = \frac{1}{- (x) + 1}$

ステップ 3.3

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$f (- x) = \frac{1}{- (x) - 1 \cdot - 1}$

ステップ 3.4

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$f (- x) = \frac{1}{- (x - 1)}$

ステップ 3.5

負の数を書き換えます。

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ステップ 3.5.1

$- (x - 1)$ を $- 1 (x - 1)$ に書き換えます。

$f (- x) = \frac{1}{- 1 (x - 1)}$

ステップ 3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (- x) = - \frac{1}{x - 1}$

ステップ 4

$f (- x) = f (x)$ ならば関数は偶関数です。

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ステップ 4.1

$f (- x) = f (x)$ ならば確認します。

ステップ 4.2

$- \frac{1}{x - 1}$ $\neq$ $\frac{1}{x + 1}$ なので、関数は偶関数ではありません。

関数は偶関数ではありません

ステップ 5

$f (- x) = - f (x)$ ならば関数は奇関数です。

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ステップ 5.1

$- 1$ に $\frac{1}{x + 1}$ をかけます。

$- f (x) = - \frac{1}{x + 1}$

ステップ 5.2

$- \frac{1}{x - 1}$ $\neq$ $- \frac{1}{x + 1}$ なので、関数は奇関数ではありません。

関数は奇関数ではありません

ステップ 6

関数は奇関数でも偶関数でもありません

ステップ 7

関数が奇数ではないので、原点に対して対称ではありません。

原点対称がありません

ステップ 8

関数が偶数ではないので、y軸に対して対称ではありません。

y軸対称がありません

ステップ 9

関数が奇数でも偶数でもないので、原点/y軸に対象ではありません。

関数が対称ではありません

ステップ 10

代数 例

代数例