代数例

$y = - x^{4} - 16 x^{3} - 94 x^{2} - 240 x - 225$

ステップ 1

$y = - x^{4} - 16 x^{3} - 94 x^{2} - 240 x - 225$ を関数で書きます。

$f (x) = - x^{4} - 16 x^{3} - 94 x^{2} - 240 x - 225$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- x^{4} - 16 x^{3} - 94 x^{2} - 240 x - 225$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 94 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [- 225]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 94 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [- 225]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{4}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 94 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [- 225]$

ステップ 2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 94 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [- 225]$

ステップ 2.2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 94 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [- 225]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 16 x^{3}$ の微分係数は $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- 4 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 94 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [- 225]$

ステップ 2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 94 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [- 225]$

ステップ 2.3.3

$3$ に $- 16$ をかけます。

$- 4 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 94 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [- 225]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- 94 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 94$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 94 x^{2}$ の微分係数は $- 94 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 4 x^{3} - 48 x^{2} - 94 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [- 225]$

ステップ 2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 x^{3} - 48 x^{2} - 94 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [- 225]$

ステップ 2.4.3

$2$ に $- 94$ をかけます。

$- 4 x^{3} - 48 x^{2} - 188 x + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [- 225]$

ステップ 2.5

$\frac{d}{d x} [- 240 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$- 240$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 240 x$ の微分係数は $- 240 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 4 x^{3} - 48 x^{2} - 188 x - 240 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 225]$

ステップ 2.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 x^{3} - 48 x^{2} - 188 x - 240 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 225]$

ステップ 2.5.3

$- 240$ に $1$ をかけます。

$- 4 x^{3} - 48 x^{2} - 188 x - 240 + \frac{d}{d x} [- 225]$

ステップ 2.6

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$- 225$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 225$ の微分係数は $0$ です。

$- 4 x^{3} - 48 x^{2} - 188 x - 240 + 0$

ステップ 2.6.2

$- 4 x^{3} - 48 x^{2} - 188 x - 240$ と $0$ をたし算します。

$- 4 x^{3} - 48 x^{2} - 188 x - 240$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $- 4 x^{3} - 48 x^{2} - 188 x - 240$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 188 x] + \frac{d}{d x} [- 240]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 188 x) + \frac{d}{d x} (- 240)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{3}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 188 x) + \frac{d}{d x} (- 240)$

ステップ 3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 188 x) + \frac{d}{d x} (- 240)$

ステップ 3.2.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 188 x) + \frac{d}{d x} (- 240)$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 48$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 48 x^{2}$ の微分係数は $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 188 x) + \frac{d}{d x} (- 240)$

ステップ 3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 188 x) + \frac{d}{d x} (- 240)$

ステップ 3.3.3

$2$ に $- 48$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} (- 188 x) + \frac{d}{d x} (- 240)$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [- 188 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- 188$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 188 x$ の微分係数は $- 188 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 96 x - 188 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 240)$

ステップ 3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 96 x - 188 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 240)$

ステップ 3.4.3

$- 188$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 96 x - 188 + \frac{d}{d x} (- 240)$

ステップ 3.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$- 240$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 240$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 96 x - 188 + 0$

ステップ 3.5.2

$- 12 x^{2} - 96 x - 188$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 96 x - 188$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 4 x^{3} - 48 x^{2} - 188 x - 240 = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 94 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (- 225)$

ステップ 5.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{4}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 94 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (- 225)$

ステップ 5.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 94 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (- 225)$

ステップ 5.1.2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 94 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (- 225)$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$- 16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 16 x^{3}$ の微分係数は $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = - 4 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 94 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (- 225)$

ステップ 5.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - 4 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 94 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (- 225)$

ステップ 5.1.3.3

$3$ に $- 16$ をかけます。

$f' (x) = - 4 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 94 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (- 225)$

ステップ 5.1.4

$\frac{d}{d x} [- 94 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$- 94$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 94 x^{2}$ の微分係数は $- 94 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = - 4 x^{3} - 48 x^{2} - 94 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (- 225)$

ステップ 5.1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - 4 x^{3} - 48 x^{2} - 94 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (- 225)$

ステップ 5.1.4.3

$2$ に $- 94$ をかけます。

$f' (x) = - 4 x^{3} - 48 x^{2} - 188 x + \frac{d}{d x} (- 240 x) + \frac{d}{d x} (- 225)$

ステップ 5.1.5

$\frac{d}{d x} [- 240 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.5.1

$- 240$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 240 x$ の微分係数は $- 240 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = - 4 x^{3} - 48 x^{2} - 188 x - 240 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 225)$

ステップ 5.1.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - 4 x^{3} - 48 x^{2} - 188 x - 240 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 225)$

ステップ 5.1.5.3

$- 240$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - 4 x^{3} - 48 x^{2} - 188 x - 240 + \frac{d}{d x} (- 225)$

ステップ 5.1.6

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.1

$- 225$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 225$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = - 4 x^{3} - 48 x^{2} - 188 x - 240 + 0$

ステップ 5.1.6.2

$- 4 x^{3} - 48 x^{2} - 188 x - 240$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 4 x^{3} - 48 x^{2} - 188 x - 240$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 4 x^{3} - 48 x^{2} - 188 x - 240$ です。

$- 4 x^{3} - 48 x^{2} - 188 x - 240$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 4 x^{3} - 48 x^{2} - 188 x - 240 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 4 x^{3} - 48 x^{2} - 188 x - 240 = 0$

ステップ 6.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 6.2.1

$4$ を $- 4 x^{3} - 48 x^{2} - 188 x - 240$ で因数分解します。

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ステップ 6.2.1.1

$4$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 (- x^{3}) - 48 x^{2} - 188 x - 240 = 0$

ステップ 6.2.1.2

$4$ を $- 48 x^{2}$ で因数分解します。

$4 (- x^{3}) + 4 (- 12 x^{2}) - 188 x - 240 = 0$

ステップ 6.2.1.3

$4$ を $- 188 x$ で因数分解します。

$4 (- x^{3}) + 4 (- 12 x^{2}) + 4 (- 47 x) - 240 = 0$

ステップ 6.2.1.4

$4$ を $- 240$ で因数分解します。

$4 (- x^{3}) + 4 (- 12 x^{2}) + 4 (- 47 x) + 4 (- 60) = 0$

ステップ 6.2.1.5

$4$ を $4 (- x^{3}) + 4 (- 12 x^{2})$ で因数分解します。

$4 (- x^{3} - 12 x^{2}) + 4 (- 47 x) + 4 (- 60) = 0$

ステップ 6.2.1.6

$4$ を $4 (- x^{3} - 12 x^{2}) + 4 (- 47 x)$ で因数分解します。

$4 (- x^{3} - 12 x^{2} - 47 x) + 4 (- 60) = 0$

ステップ 6.2.1.7

$4$ を $4 (- x^{3} - 12 x^{2} - 47 x) + 4 (- 60)$ で因数分解します。

$4 (- x^{3} - 12 x^{2} - 47 x - 60) = 0$

ステップ 6.2.2

有理根検定を用いて $- x^{3} - 12 x^{2} - 47 x - 60$ を因数分解します。

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ステップ 6.2.2.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1$

ステップ 6.2.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

ステップ 6.2.2.3

$- 3$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 3$ は多項式の根です。

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ステップ 6.2.2.3.1

$- 3$ を多項式に代入します。

$- {(- 3)}^{3} - 12 {(- 3)}^{2} - 47 \cdot - 3 - 60$

ステップ 6.2.2.3.2

$- 3$ を $3$ 乗します。

$- - 27 - 12 {(- 3)}^{2} - 47 \cdot - 3 - 60$

ステップ 6.2.2.3.3

$- 1$ に $- 27$ をかけます。

$27 - 12 {(- 3)}^{2} - 47 \cdot - 3 - 60$

ステップ 6.2.2.3.4

$- 3$ を $2$ 乗します。

$27 - 12 \cdot 9 - 47 \cdot - 3 - 60$

ステップ 6.2.2.3.5

$- 12$ に $9$ をかけます。

$27 - 108 - 47 \cdot - 3 - 60$

ステップ 6.2.2.3.6

$27$ から $108$ を引きます。

$- 81 - 47 \cdot - 3 - 60$

ステップ 6.2.2.3.7

$- 47$ に $- 3$ をかけます。

$- 81 + 141 - 60$

ステップ 6.2.2.3.8

$- 81$ と $141$ をたし算します。

$60 - 60$

ステップ 6.2.2.3.9

$60$ から $60$ を引きます。

$0$

ステップ 6.2.2.4

$- 3$ は既知の根なので、多項式を $x + 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{- x^{3} - 12 x^{2} - 47 x - 60}{x + 3}$

ステップ 6.2.2.5

$- x^{3} - 12 x^{2} - 47 x - 60$ を $x + 3$ で割ります。

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ステップ 6.2.2.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$3$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

ステップ 6.2.2.5.2

被除数 $- x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$47 x$	-	$60$

ステップ 6.2.2.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x^{2}$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$47 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

ステップ 6.2.2.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $- x^{3} - 3 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

			-	$x^{2}$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$47 x$	-	$60$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

ステップ 6.2.2.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x^{2}$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$47 x$	-	$60$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$

ステップ 6.2.2.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$x^{2}$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$47 x$	-	$60$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	-	$47 x$

ステップ 6.2.2.5.7

被除数 $- 9 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

			-	$x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$47 x$	-	$60$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	-	$47 x$

ステップ 6.2.2.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$47 x$	-	$60$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	-	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$

ステップ 6.2.2.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 9 x^{2} - 27 x$ の符号をすべて変更します。

			-	$x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$47 x$	-	$60$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	-	$47 x$
					+	$9 x^{2}$	+	$27 x$

ステップ 6.2.2.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$47 x$	-	$60$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	-	$47 x$
					+	$9 x^{2}$	+	$27 x$
							-	$20 x$

ステップ 6.2.2.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$47 x$	-	$60$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	-	$47 x$
					+	$9 x^{2}$	+	$27 x$
							-	$20 x$	-	$60$

ステップ 6.2.2.5.12

被除数 $- 20 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

			-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$20$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$47 x$	-	$60$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	-	$47 x$
					+	$9 x^{2}$	+	$27 x$
							-	$20 x$	-	$60$

ステップ 6.2.2.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$20$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$47 x$	-	$60$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	-	$47 x$
					+	$9 x^{2}$	+	$27 x$
							-	$20 x$	-	$60$
							-	$20 x$	-	$60$

ステップ 6.2.2.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 20 x - 60$ の符号をすべて変更します。

			-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$20$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$47 x$	-	$60$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	-	$47 x$
					+	$9 x^{2}$	+	$27 x$
							-	$20 x$	-	$60$
							+	$20 x$	+	$60$

ステップ 6.2.2.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$20$
$x$	+	$3$	-	$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$47 x$	-	$60$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	-	$47 x$
					+	$9 x^{2}$	+	$27 x$
							-	$20 x$	-	$60$
							+	$20 x$	+	$60$
										$0$

ステップ 6.2.2.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$- x^{2} - 9 x - 20$

ステップ 6.2.2.6

$- x^{3} - 12 x^{2} - 47 x - 60$ を因数の集合として書き換えます。

$4 ((x + 3) (- x^{2} - 9 x - 20)) = 0$

ステップ 6.2.3

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot - 20 = 20$ で和が $b = - 9$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.1.1.1

$- 9$ を $- 9 x$ で因数分解します。

$4 ((x + 3) (- x^{2} - 9 x - 20)) = 0$

ステップ 6.2.3.1.1.1.2

$- 9$ を $- 4$ プラス $- 5$ に書き換える

$4 ((x + 3) (- x^{2} + (- 4 - 5) x - 20)) = 0$

ステップ 6.2.3.1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$4 ((x + 3) (- x^{2} - 4 x - 5 x - 20)) = 0$

ステップ 6.2.3.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$4 ((x + 3) ((- x^{2} - 4 x) - 5 x - 20)) = 0$

ステップ 6.2.3.1.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$4 ((x + 3) (x (- x - 4) + 5 (- x - 4))) = 0$

ステップ 6.2.3.1.1.3

最大公約数 $- x - 4$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$4 ((x + 3) ((- x - 4) (x + 5))) = 0$

ステップ 6.2.3.1.2

不要な括弧を削除します。

$4 ((x + 3) (- x - 4) (x + 5)) = 0$

ステップ 6.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$4 (x + 3) (- x - 4) (x + 5) = 0$

ステップ 6.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 3 = 0$

$- x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

ステップ 6.4

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 6.4.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 6.5

$- x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$- x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$- x - 4 = 0$

ステップ 6.5.2

$x$ について $- x - 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$- x = 4$

ステップ 6.5.2.2

$- x = 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.1

$- x = 4$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

ステップ 6.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{4}{- 1}$

ステップ 6.5.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{4}{- 1}$

ステップ 6.5.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.3.1

$4$ を $- 1$ で割ります。

$x = - 4$

ステップ 6.6

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 6.6.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 6.7

最終解は $4 (x + 3) (- x - 4) (x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 3, - 4, - 5$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = - 3, - 4, - 5$

ステップ 9

$x = - 3$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 12 {(- 3)}^{2} - 96 \cdot - 3 - 188$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$- 12 \cdot 9 - 96 \cdot - 3 - 188$

ステップ 10.1.2

$- 12$ に $9$ をかけます。

$- 108 - 96 \cdot - 3 - 188$

ステップ 10.1.3

$- 96$ に $- 3$ をかけます。

$- 108 + 288 - 188$

ステップ 10.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$- 108$ と $288$ をたし算します。

$180 - 188$

ステップ 10.2.2

$180$ から $188$ を引きます。

$- 8$

ステップ 11

$x = - 3$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 3$ は極大値です

ステップ 12

$x = - 3$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f (- 3) = - {(- 3)}^{4} - 16 {(- 3)}^{3} - 94 {(- 3)}^{2} - 240 \cdot - 3 - 225$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

$- 3$ を $4$ 乗します。

$f (- 3) = - 1 \cdot 81 - 16 {(- 3)}^{3} - 94 {(- 3)}^{2} - 240 \cdot - 3 - 225$

ステップ 12.2.1.2

$- 1$ に $81$ をかけます。

$f (- 3) = - 81 - 16 {(- 3)}^{3} - 94 {(- 3)}^{2} - 240 \cdot - 3 - 225$

ステップ 12.2.1.3

$- 3$ を $3$ 乗します。

$f (- 3) = - 81 - 16 \cdot - 27 - 94 {(- 3)}^{2} - 240 \cdot - 3 - 225$

ステップ 12.2.1.4

$- 16$ に $- 27$ をかけます。

$f (- 3) = - 81 + 432 - 94 {(- 3)}^{2} - 240 \cdot - 3 - 225$

ステップ 12.2.1.5

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f (- 3) = - 81 + 432 - 94 \cdot 9 - 240 \cdot - 3 - 225$

ステップ 12.2.1.6

$- 94$ に $9$ をかけます。

$f (- 3) = - 81 + 432 - 846 - 240 \cdot - 3 - 225$

ステップ 12.2.1.7

$- 240$ に $- 3$ をかけます。

$f (- 3) = - 81 + 432 - 846 + 720 - 225$

ステップ 12.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.2.1

$- 81$ と $432$ をたし算します。

$f (- 3) = 351 - 846 + 720 - 225$

ステップ 12.2.2.2

$351$ から $846$ を引きます。

$f (- 3) = - 495 + 720 - 225$

ステップ 12.2.2.3

$- 495$ と $720$ をたし算します。

$f (- 3) = 225 - 225$

ステップ 12.2.2.4

$225$ から $225$ を引きます。

$f (- 3) = 0$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 13

$x = - 4$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 12 {(- 4)}^{2} - 96 \cdot - 4 - 188$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$- 12 \cdot 16 - 96 \cdot - 4 - 188$

ステップ 14.1.2

$- 12$ に $16$ をかけます。

$- 192 - 96 \cdot - 4 - 188$

ステップ 14.1.3

$- 96$ に $- 4$ をかけます。

$- 192 + 384 - 188$

ステップ 14.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

$- 192$ と $384$ をたし算します。

$192 - 188$

ステップ 14.2.2

$192$ から $188$ を引きます。

$4$

ステップ 15

$x = - 4$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 4$ は極小値です

ステップ 16

$x = - 4$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f (- 4) = - {(- 4)}^{4} - 16 {(- 4)}^{3} - 94 {(- 4)}^{2} - 240 \cdot - 4 - 225$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1

$- 4$ を $4$ 乗します。

$f (- 4) = - 1 \cdot 256 - 16 {(- 4)}^{3} - 94 {(- 4)}^{2} - 240 \cdot - 4 - 225$

ステップ 16.2.1.2

$- 1$ に $256$ をかけます。

$f (- 4) = - 256 - 16 {(- 4)}^{3} - 94 {(- 4)}^{2} - 240 \cdot - 4 - 225$

ステップ 16.2.1.3

$- 4$ を $3$ 乗します。

$f (- 4) = - 256 - 16 \cdot - 64 - 94 {(- 4)}^{2} - 240 \cdot - 4 - 225$

ステップ 16.2.1.4

$- 16$ に $- 64$ をかけます。

$f (- 4) = - 256 + 1024 - 94 {(- 4)}^{2} - 240 \cdot - 4 - 225$

ステップ 16.2.1.5

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f (- 4) = - 256 + 1024 - 94 \cdot 16 - 240 \cdot - 4 - 225$

ステップ 16.2.1.6

$- 94$ に $16$ をかけます。

$f (- 4) = - 256 + 1024 - 1504 - 240 \cdot - 4 - 225$

ステップ 16.2.1.7

$- 240$ に $- 4$ をかけます。

$f (- 4) = - 256 + 1024 - 1504 + 960 - 225$

ステップ 16.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.2.1

$- 256$ と $1024$ をたし算します。

$f (- 4) = 768 - 1504 + 960 - 225$

ステップ 16.2.2.2

$768$ から $1504$ を引きます。

$f (- 4) = - 736 + 960 - 225$

ステップ 16.2.2.3

$- 736$ と $960$ をたし算します。

$f (- 4) = 224 - 225$

ステップ 16.2.2.4

$224$ から $225$ を引きます。

$f (- 4) = - 1$

ステップ 16.2.3

最終的な答えは $- 1$ です。

$y = - 1$

ステップ 17

$x = - 5$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 12 {(- 5)}^{2} - 96 \cdot - 5 - 188$

ステップ 18

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$- 12 \cdot 25 - 96 \cdot - 5 - 188$

ステップ 18.1.2

$- 12$ に $25$ をかけます。

$- 300 - 96 \cdot - 5 - 188$

ステップ 18.1.3

$- 96$ に $- 5$ をかけます。

$- 300 + 480 - 188$

ステップ 18.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.1

$- 300$ と $480$ をたし算します。

$180 - 188$

ステップ 18.2.2

$180$ から $188$ を引きます。

$- 8$

ステップ 19

$x = - 5$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 5$ は極大値です

ステップ 20

$x = - 5$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.1

式の変数 $x$ を $- 5$ で置換えます。

$f (- 5) = - {(- 5)}^{4} - 16 {(- 5)}^{3} - 94 {(- 5)}^{2} - 240 \cdot - 5 - 225$

ステップ 20.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.1

$- 5$ を $4$ 乗します。

$f (- 5) = - 1 \cdot 625 - 16 {(- 5)}^{3} - 94 {(- 5)}^{2} - 240 \cdot - 5 - 225$

ステップ 20.2.1.2

$- 1$ に $625$ をかけます。

$f (- 5) = - 625 - 16 {(- 5)}^{3} - 94 {(- 5)}^{2} - 240 \cdot - 5 - 225$

ステップ 20.2.1.3

$- 5$ を $3$ 乗します。

$f (- 5) = - 625 - 16 \cdot - 125 - 94 {(- 5)}^{2} - 240 \cdot - 5 - 225$

ステップ 20.2.1.4

$- 16$ に $- 125$ をかけます。

$f (- 5) = - 625 + 2000 - 94 {(- 5)}^{2} - 240 \cdot - 5 - 225$

ステップ 20.2.1.5

$- 5$ を $2$ 乗します。

$f (- 5) = - 625 + 2000 - 94 \cdot 25 - 240 \cdot - 5 - 225$

ステップ 20.2.1.6

$- 94$ に $25$ をかけます。

$f (- 5) = - 625 + 2000 - 2350 - 240 \cdot - 5 - 225$

ステップ 20.2.1.7

$- 240$ に $- 5$ をかけます。

$f (- 5) = - 625 + 2000 - 2350 + 1200 - 225$

ステップ 20.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.2.1

$- 625$ と $2000$ をたし算します。

$f (- 5) = 1375 - 2350 + 1200 - 225$

ステップ 20.2.2.2

$1375$ から $2350$ を引きます。

$f (- 5) = - 975 + 1200 - 225$

ステップ 20.2.2.3

$- 975$ と $1200$ をたし算します。

$f (- 5) = 225 - 225$

ステップ 20.2.2.4

$225$ から $225$ を引きます。

$f (- 5) = 0$

ステップ 20.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 21

$f (x) = - x^{4} - 16 x^{3} - 94 x^{2} - 240 x - 225$ の極値です。

$(- 3, 0)$ は極大値です

$(- 4, - 1)$ は極小値です

$(- 5, 0)$ は極大値です

ステップ 22

代数 例

代数例