代数例

${(3 (\cos (30) + i \sin (30)))}^{3}$

ステップ 1

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$\cos (30)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

${(3 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (30)))}^{3}$

ステップ 1.1.2

$\sin (30)$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

${(3 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}))}^{3}$

ステップ 1.1.3

$i$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

${(3 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}))}^{3}$

ステップ 1.2

項を簡約します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

${(3 \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \frac{i}{2})}^{3}$

ステップ 1.2.2

$3$ と $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をまとめます。

${(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + 3 \frac{i}{2})}^{3}$

ステップ 1.2.3

$3$ と $\frac{i}{2}$ をまとめます。

${(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 2

二項定理を利用します。

${(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 3.1.1.1

積の法則を $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ に当てはめます。

$\frac{{(3 \sqrt{3})}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.1.2

積の法則を $3 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$\frac{3^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{27 {\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.2.2

${\sqrt{3}}^{3}$ を $\sqrt{3^{3}}$ に書き換えます。

$\frac{27 \sqrt{3^{3}}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.2.3

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{27 \sqrt{27}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.2.4

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.4.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$\frac{27 \sqrt{9 (3)}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.2.4.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{27 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.2.5

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{27 \cdot 3 \sqrt{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.2.6

$27$ に $3$ をかけます。

$\frac{81 \sqrt{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.4

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.1

積の法則を $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ に当てはめます。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{{(3 \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.4.2

積の法則を $3 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{3^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.5.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.5.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.5.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.5.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.5.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.5.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.5.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.5.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 \cdot 3^{1}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.5.2.5

指数を求めます。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 \cdot 3}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.6

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 \cdot 3}{4} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.7

$9$ に $3$ をかけます。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 (\frac{27}{4}) \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.8

$3 (\frac{27}{4})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.8.1

$3$ と $\frac{27}{4}$ をまとめます。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{3 \cdot 27}{4} \cdot \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.8.2

$3$ に $27$ をかけます。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{81}{4} \cdot \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.9

$\frac{81}{4} \cdot \frac{3 i}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.9.1

$\frac{81}{4}$ に $\frac{3 i}{2}$ をかけます。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{81 (3 i)}{4 \cdot 2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.9.2

$3$ に $81$ をかけます。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{4 \cdot 2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.9.3

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.10

$3 \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.10.1

$3$ と $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ をまとめます。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{3 (3 \sqrt{3})}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.10.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{9 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.11

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.11.1

積の法則を $\frac{3 i}{2}$ に当てはめます。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{9 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{{(3 i)}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.11.2

積の法則を $3 i$ に当てはめます。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{9 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3^{2} i^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.12

まとめる。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{9 \sqrt{3} (3^{2} i^{2})}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.13

指数を足して $2$ に $2^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.13.1

$2$ に $2^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.13.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{9 \sqrt{3} (3^{2} i^{2})}{2^{1} \cdot 2^{2}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.13.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{9 \sqrt{3} (3^{2} i^{2})}{2^{1 + 2}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.13.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{9 \sqrt{3} (3^{2} i^{2})}{2^{3}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.14

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.14.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{3^{2} \cdot 3^{2} \sqrt{3} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.14.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{3^{2 + 2} \sqrt{3} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.14.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{3^{4} \sqrt{3} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.15

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{3^{4} \sqrt{3} i^{2}}{8} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.16

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.16.1

$3$ を $4$ 乗します。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{81 \sqrt{3} i^{2}}{8} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.16.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{81 \sqrt{3} \cdot - 1}{8} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.16.3

$- 1$ に $81$ をかけます。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{- 81 \sqrt{3}}{8} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.17

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.18

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.18.1

積の法則を $\frac{3 i}{2}$ に当てはめます。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{{(3 i)}^{3}}{2^{3}}$

ステップ 3.1.18.2

積の法則を $3 i$ に当てはめます。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{3^{3} i^{3}}{2^{3}}$

ステップ 3.1.19

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.19.1

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{27 i^{3}}{2^{3}}$

ステップ 3.1.19.2

$i^{2}$ を因数分解します。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{27 (i^{2} \cdot i)}{2^{3}}$

ステップ 3.1.19.3

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{27 (- 1 \cdot i)}{2^{3}}$

ステップ 3.1.19.4

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{27 \cdot - 1 i}{2^{3}}$

ステップ 3.1.19.5

指数をまとめます。

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ステップ 3.1.19.5.1

負をくくり出します。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{- (27 i)}{2^{3}}$

ステップ 3.1.19.5.2

$27$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{- 27 i}{2^{3}}$

ステップ 3.1.20

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{- 27 i}{8}$

ステップ 3.1.21

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} - \frac{27 i}{8}$

ステップ 3.2

項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{81 \sqrt{3} + 243 i - 81 \sqrt{3} - 27 i}{8}$

ステップ 3.2.2

$81 \sqrt{3}$ から $81 \sqrt{3}$ を引きます。

$\frac{0 + 243 i - 27 i}{8}$

ステップ 3.2.3

$0$ と $243 i$ をたし算します。

$\frac{243 i - 27 i}{8}$

ステップ 3.2.4

$243 i$ から $27 i$ を引きます。

$\frac{216 i}{8}$

ステップ 3.2.5

$216$ と $8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.5.1

$8$ を $216 i$ で因数分解します。

$\frac{8 (27 i)}{8}$

ステップ 3.2.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.5.2.1

$8$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{8 (27 i)}{8 (1)}$

ステップ 3.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{8 (27 i)}{8 \cdot 1}$

ステップ 3.2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{27 i}{1}$

ステップ 3.2.5.2.4

$27 i$ を $1$ で割ります。

$27 i$

代数 例

代数例