代数例

$y = 10 x^{2} - 4 x - 2$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

$10 x^{2} - 4 x - 2$ の平方完成。

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ステップ 1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 10$

$b = - 4$

$c = - 2$

ステップ 1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 10}$

ステップ 1.1.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.2.1

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.1.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 10}$

ステップ 1.1.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 10$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (10)}$

ステップ 1.1.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 10}$

ステップ 1.1.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 2}{10}$

ステップ 1.1.3.2.2

$- 2$ と $10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (- 1)}{10}$

ステップ 1.1.3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.2.2.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 5}$

ステップ 1.1.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 5}$

ステップ 1.1.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 1}{5}$

ステップ 1.1.3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{1}{5}$

ステップ 1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = - 2 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 10}$

ステップ 1.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.4.2.1.1

${(- 4)}^{2}$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.4.2.1.1.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$e = - 2 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 10}$

ステップ 1.1.4.2.1.1.2

積の法則を $- 1 (4)$ に当てはめます。

$e = - 2 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 10}$

ステップ 1.1.4.2.1.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$e = - 2 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 10}$

ステップ 1.1.4.2.1.1.4

$4^{2}$ に $1$ をかけます。

$e = - 2 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 10}$

ステップ 1.1.4.2.1.1.5

$4$ を $4^{2}$ で因数分解します。

$e = - 2 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 10}$

ステップ 1.1.4.2.1.1.6

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.4.2.1.1.6.1

$4$ を $4 \cdot 10$ で因数分解します。

$e = - 2 - \frac{4 \cdot 4}{4 (10)}$

ステップ 1.1.4.2.1.1.6.2

共通因数を約分します。

$e = - 2 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 10}$

ステップ 1.1.4.2.1.1.6.3

式を書き換えます。

$e = - 2 - \frac{4}{10}$

ステップ 1.1.4.2.1.2

$4$ と $10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.4.2.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$e = - 2 - \frac{2 (2)}{10}$

ステップ 1.1.4.2.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.4.2.1.2.2.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$e = - 2 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

ステップ 1.1.4.2.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$e = - 2 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

ステップ 1.1.4.2.1.2.2.3

式を書き換えます。

$e = - 2 - \frac{2}{5}$

ステップ 1.1.4.2.2

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$e = - 2 \cdot \frac{5}{5} - \frac{2}{5}$

ステップ 1.1.4.2.3

$- 2$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$e = \frac{- 2 \cdot 5}{5} - \frac{2}{5}$

ステップ 1.1.4.2.4

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{- 2 \cdot 5 - 2}{5}$

ステップ 1.1.4.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.4.2.5.1

$- 2$ に $5$ をかけます。

$e = \frac{- 10 - 2}{5}$

ステップ 1.1.4.2.5.2

$- 10$ から $2$ を引きます。

$e = \frac{- 12}{5}$

ステップ 1.1.4.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$e = - \frac{12}{5}$

ステップ 1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $10 {(x - \frac{1}{5})}^{2} - \frac{12}{5}$ に代入します。

$10 {(x - \frac{1}{5})}^{2} - \frac{12}{5}$

ステップ 1.2

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = 10 {(x - \frac{1}{5})}^{2} - \frac{12}{5}$

ステップ 2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = 10$

$h = \frac{1}{5}$

$k = - \frac{12}{5}$

ステップ 3

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(\frac{1}{5}, - \frac{12}{5})$

ステップ 5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot 10}$

ステップ 5.3

$4$ に $10$ をかけます。

$\frac{1}{40}$

ステップ 6

焦点を求めます。

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ステップ 6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\frac{1}{5}, - \frac{19}{8})$

ステップ 7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = \frac{1}{5}$

ステップ 8

準線を求めます。

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ステップ 8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = - \frac{97}{40}$

ステップ 9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(\frac{1}{5}, - \frac{12}{5})$

焦点： $(\frac{1}{5}, - \frac{19}{8})$

対称軸： $x = \frac{1}{5}$

準線： $y = - \frac{97}{40}$

ステップ 10

代数 例

代数例