代数例

$f (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} - 18 x + 45$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

$q = \pm 1, \pm 2$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm 15, \pm \frac{15}{2}, \pm 45, \pm \frac{45}{2}$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

$2 {(3)}^{3} - 5 {(3)}^{2} - 18 \cdot 3 + 45$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 3$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$3$ を $3$ 乗します。

$2 \cdot 27 - 5 {(3)}^{2} - 18 \cdot 3 + 45$

ステップ 4.1.2

$2$ に $27$ をかけます。

$54 - 5 {(3)}^{2} - 18 \cdot 3 + 45$

ステップ 4.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$54 - 5 \cdot 9 - 18 \cdot 3 + 45$

ステップ 4.1.4

$- 5$ に $9$ をかけます。

$54 - 45 - 18 \cdot 3 + 45$

ステップ 4.1.5

$- 18$ に $3$ をかけます。

$54 - 45 - 54 + 45$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$54$ から $45$ を引きます。

$9 - 54 + 45$

ステップ 4.2.2

$9$ から $54$ を引きます。

$- 45 + 45$

ステップ 4.2.3

$- 45$ と $45$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

$3$ は既知の根なので、多項式を $x - 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - 18 x + 45}{x - 3}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$3$	$2$	$- 5$	$- 18$	$45$

ステップ 6.2

被除数 $(2)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$3$	$2$	$- 5$	$- 18$	$45$

	$2$

ステップ 6.3

結果 $(2)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(6)$ の結果を被除数 $(- 5)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$2$	$- 5$	$- 18$	$45$
		$6$
	$2$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$2$	$- 5$	$- 18$	$45$
		$6$
	$2$	$1$

ステップ 6.5

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(3)$ の結果を被除数 $(- 18)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$2$	$- 5$	$- 18$	$45$
		$6$	$3$
	$2$	$1$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$2$	$- 5$	$- 18$	$45$
		$6$	$3$
	$2$	$1$	$- 15$

ステップ 6.7

結果 $(- 15)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(- 45)$ の結果を被除数 $(45)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$2$	$- 5$	$- 18$	$45$
		$6$	$3$	$- 45$
	$2$	$1$	$- 15$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$2$	$- 5$	$- 18$	$45$
		$6$	$3$	$- 45$
	$2$	$1$	$- 15$	$0$

ステップ 6.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$2 x^{2} + 1 x - 15$

ステップ 6.10

商の多項式を簡約します。

$2 x^{2} + x - 15$

ステップ 7

群による因数分解。

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ステップ 7.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ で和が $b = 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 7.1.1

$1$ を掛けます。

$(x - 3) + 2 x^{2} + 1 x - 15$

ステップ 7.1.2

$1$ を $- 5$ プラス $6$ に書き換える

$(x - 3) + 2 x^{2} + (- 5 + 6) x - 15$

ステップ 7.1.3

分配則を当てはめます。

$(x - 3) + 2 x^{2} - 5 x + 6 x - 15$

ステップ 7.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 7.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x - 3) (2 x^{2} - 5 x) + 6 x - 15$

ステップ 7.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x - 3) + x (2 x - 5) + 3 (2 x - 5)$

ステップ 7.3

最大公約数 $2 x - 5$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 3) + (2 x - 5) (x + 3)$

$(x - 3) (2 x - 5) (x + 3)$

ステップ 8

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 8.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 8.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(2 x^{3} - 5 x^{2}) - 18 x + 45 = 0$

ステップ 8.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{2} (2 x - 5) - 9 (2 x - 5) = 0$

ステップ 8.2

最大公約数 $2 x - 5$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 x - 5) (x^{2} - 9) = 0$

ステップ 8.3

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$(2 x - 5) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

ステップ 8.4

因数分解。

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ステップ 8.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$(2 x - 5) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

ステップ 8.4.2

不要な括弧を削除します。

$(2 x - 5) (x + 3) (x - 3) = 0$

ステップ 9

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 10

$2 x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 10.1

$2 x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 5 = 0$

ステップ 10.2

$x$ について $2 x - 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 10.2.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$2 x = 5$

ステップ 10.2.2

$2 x = 5$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 10.2.2.1

$2 x = 5$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

ステップ 10.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 10.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

ステップ 10.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{5}{2}$

ステップ 11

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 11.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 12

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 12.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 13

最終解は $(2 x - 5) (x + 3) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{5}{2}, - 3, 3$

ステップ 14

代数 例

代数例