代数例

$y = x \sqrt{x}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = x \cdot x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x \cdot x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

指数を足して $x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 4.1.1

$x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 4.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d y} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d y} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{d}{d y} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d}{d y} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

ステップ 4.1.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d}{d y} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 4.2

$f (y) = y^{\frac{3}{2}}$ および $g (y) = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.2.2

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.6.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.7

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.8

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} x'$

ステップ 4.9

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ と $x'$ をまとめます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2}$

ステップ 6

$x'$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $\frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2} = 1$ として書き換えます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2} = 1$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $\frac{2}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2} = \frac{2}{3} \cdot 1$

ステップ 6.3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2}$ を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1.1

まとめる。

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} x')}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 1$

ステップ 6.3.1.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} x')}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 1$

ステップ 6.3.1.1.3

式を書き換えます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{3} = \frac{2}{3} \cdot 1$

ステップ 6.3.1.1.4

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{3} = \frac{2}{3} \cdot 1$

ステップ 6.3.1.1.5

式を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1.5.1

$x^{\frac{1}{2}} x'$ を $1$ で割ります。

$x^{\frac{1}{2}} x' = \frac{2}{3} \cdot 1$

ステップ 6.3.1.1.5.2

$x^{\frac{1}{2}} x'$ の因数を並べ替えます。

$x' x^{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \cdot 1$

ステップ 6.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$x' x^{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$

ステップ 6.4

$x' x^{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$ の各項を $x^{\frac{1}{2}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.4.1

$x' x^{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$ の各項を $x^{\frac{1}{2}}$ で割ります。

$\frac{x' x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{2}{3}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{2}{3}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.4.2.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{\frac{2}{3}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.4.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x' = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.4.3.2

まとめる。

$x' = \frac{2 \cdot 1}{3 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.4.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$x' = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}}$

代数 例

代数例