代数例

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ , $g (x) = x^{- 6}$

ステップ 1

合成結果関数を立てます。

$f (g (x))$

ステップ 2

$f$ に $g$ の値を代入し、 $f (x^{- 6})$ の値を求めます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{{(x^{- 6})}^{2} + 1}$

ステップ 3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

${(x^{- 6})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{x^{- 6 \cdot 2} + 1}$

ステップ 3.1.2

$- 6$ に $2$ をかけます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{x^{- 12} + 1}$

ステップ 3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1}{x^{12}} + 1}$

ステップ 3.3

因数分解した形で $\frac{1}{x^{12}} + 1$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1^{3}}{x^{12}} + 1}$

ステップ 3.3.2

$x^{12}$ を ${(x^{4})}^{3}$ に書き換えます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1^{3}}{{(x^{4})}^{3}} + 1}$

ステップ 3.3.3

$\frac{1^{3}}{{(x^{4})}^{3}}$ を ${(\frac{1}{x^{4}})}^{3}$ に書き換えます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{{(\frac{1}{x^{4}})}^{3} + 1}$

ステップ 3.3.4

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{{(\frac{1}{x^{4}})}^{3} + 1^{3}}$

ステップ 3.3.5

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{1}{x^{4}}$ であり、 $b = 1$ です。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) ({(\frac{1}{x^{4}})}^{2} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 3.3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1

積の法則を $\frac{1}{x^{4}}$ に当てはめます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) (\frac{1^{2}}{{(x^{4})}^{2}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 3.3.6.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) (\frac{1}{{(x^{4})}^{2}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 3.3.6.3

${(x^{4})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) (\frac{1}{x^{4 \cdot 2}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 3.3.6.3.2

$4$ に $2$ をかけます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) (\frac{1}{x^{8}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 3.3.6.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) (\frac{1}{x^{8}} - \frac{1}{x^{4}} + 1^{2})}$

ステップ 3.3.6.5

1のすべての数の累乗は1です。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) (\frac{1}{x^{8}} - \frac{1}{x^{4}} + 1)}$

ステップ 3.3.6.6

項を並べ替えます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) (- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{8}} + 1)}$

ステップ 3.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{4}}{x^{4}}) (- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{8}} + 1)}$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{8}} + 1)}$

ステップ 3.6

$- \frac{1}{x^{4}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ を掛けます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (- \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{8}} + 1)}$

ステップ 3.7

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $x^{8}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$\frac{1}{x^{4}}$ に $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ をかけます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (- \frac{x^{4}}{x^{4} x^{4}} + \frac{1}{x^{8}} + 1)}$

ステップ 3.7.2

指数を足して $x^{4}$ に $x^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (- \frac{x^{4}}{x^{4 + 4}} + \frac{1}{x^{8}} + 1)}$

ステップ 3.7.2.2

$4$ と $4$ をたし算します。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (- \frac{x^{4}}{x^{8}} + \frac{1}{x^{8}} + 1)}$

ステップ 3.8

公分母の分子をまとめます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{- x^{4} + 1}{x^{8}} + 1)}$

ステップ 3.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{- x^{4} + 1^{2}}{x^{8}} + 1)}$

ステップ 3.9.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{- {(x^{2})}^{2} + 1^{2}}{x^{8}} + 1)}$

ステップ 3.9.3

$- {(x^{2})}^{2}$ と $1^{2}$ を並べ替えます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{1^{2} - {(x^{2})}^{2}}{x^{8}} + 1)}$

ステップ 3.9.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x^{2}$ です。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{x^{8}} + 1)}$

ステップ 3.9.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.5.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{(1 + x^{2}) (1^{2} - x^{2})}{x^{8}} + 1)}$

ステップ 3.9.5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)}{x^{8}} + 1)}$

ステップ 3.10

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)}{x^{8}} + \frac{x^{8}}{x^{8}})}$

ステップ 3.11

公分母の分子をまとめます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + x^{2}) (1 + x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1.1

分配則を当てはめます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 (1 + x) + x^{2} (1 + x)) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.1.2

分配則を当てはめます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 \cdot 1 + 1 x + x^{2} (1 + x)) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.1.3

分配則を当てはめます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 \cdot 1 + 1 x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.2.1

$1$ に $1$ をかけます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 + 1 x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 + x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 + x + x^{2} + x^{2} x) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.2.4

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.2.4.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.2.4.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 + x + x^{2} + x^{2} x) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.2.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 + x + x^{2} + x^{2 + 1}) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.2.4.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 + x + x^{2} + x^{3}) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.3

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(1 + x + x^{2} + x^{3}) (1 - x)$ を展開します。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.4.1

$1$ に $1$ をかけます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.4.2

$- x$ に $1$ をかけます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.4.3

$x$ に $1$ をかけます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x + x (- x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.4.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x \cdot x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.4.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.4.5.1

$x$ を移動させます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - (x \cdot x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.4.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.4.6

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.4.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{2} x + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.4.8

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.4.8.1

$x$ を移動させます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - (x \cdot x^{2}) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.4.8.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.4.8.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - (x \cdot x^{2}) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.4.8.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{1 + 2} + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.4.8.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.4.9

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.4.10

積の可換性を利用して書き換えます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - x^{3} x + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.4.11

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.4.11.1

$x$ を移動させます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - (x \cdot x^{3}) + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.4.11.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.4.11.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - (x \cdot x^{3}) + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.4.11.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - x^{1 + 3} + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.4.11.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.5

$1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - x^{4}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.5.1

$- x$ と $x$ をたし算します。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 + 0 - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.5.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.5.3

$- x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 + 0 - x^{3} + x^{3} - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.5.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x^{3} + x^{3} - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.5.5

$- x^{3}$ と $x^{3}$ をたし算します。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 + 0 - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 3.12.5.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}}$

ステップ 4

$\frac{1 + x^{4}}{x^{4}}$ に $\frac{1 - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}$ をかけます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{(1 + x^{4}) (1 - x^{4} + x^{8})}{x^{4} x^{8}}}$

ステップ 5

指数を足して $x^{4}$ に $x^{8}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{(1 + x^{4}) (1 - x^{4} + x^{8})}{x^{4 + 8}}}$

ステップ 5.2

$4$ と $8$ をたし算します。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{(1 + x^{4}) (1 - x^{4} + x^{8})}{x^{12}}}$

ステップ 6

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (x^{- 6}) = 1 (\frac{x^{12}}{(1 + x^{4}) (1 - x^{4} + x^{8})})$

ステップ 7

$\frac{x^{12}}{(1 + x^{4}) (1 - x^{4} + x^{8})}$ に $1$ をかけます。

$f (x^{- 6}) = \frac{x^{12}}{(1 + x^{4}) (1 - x^{4} + x^{8})}$

代数 例

代数例