代数例

$e^{y} \sin (x) = x + x y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (e^{y} \sin (x)) = \frac{d}{d y} (x + x y)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{y} \frac{d}{d y} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

ステップ 2.2

$f (y) = \sin (y)$ および $g (y) = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x$ とします。

$e^{y} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x]) + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$e^{y} (\cos (u) \frac{d}{d y} [x]) + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$e^{y} (\cos (x) \frac{d}{d y} [x]) + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$e^{y} \cos (x) x' + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

ステップ 2.4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ は $a^{y} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{y} \cos (x) x' + \sin (x) e^{y}$

ステップ 2.5

項を並べ替えます。

$e^{y} \cos (x) x' + e^{y} \sin (x)$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x + x y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [x y]$ です。

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [x y]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$x' + \frac{d}{d y} [x y]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d y} [x y]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$f (y) = x$ および $g (y) = y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x' + x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x' + x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.3.3

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$x' + x \cdot 1 + y x'$

ステップ 3.3.4

$x$ に $1$ をかけます。

$x' + x + y x'$

ステップ 3.4

項を並べ替えます。

$y x' + x + x'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$e^{y} \cos (x) x' + e^{y} \sin (x) = y x' + x + x'$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$e^{y} \cos (x) x' + e^{y} \sin (x)$ の因数を並べ替えます。

$x' e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) = y x' + x + x'$

ステップ 5.2

$x'$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$y x' + x + x' = x' e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x)$

ステップ 5.3

方程式の両辺から $x' e^{y} \cos (x)$ を引きます。

$y x' + x + x' - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x)$

ステップ 5.4

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$y x' + x' - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x) - x$

ステップ 5.5

$x'$ を $y x' + x' - x' e^{y} \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 5.5.1

$x'$ を $y x'$ で因数分解します。

$x' y + x' - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x) - x$

ステップ 5.5.2

$x'$ を $1$ 乗します。

$x' y + x' - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x) - x$

ステップ 5.5.3

$x'$ を ${x'}^{1}$ で因数分解します。

$x' y + x' \cdot 1 - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x) - x$

ステップ 5.5.4

$x'$ を $- x' e^{y} \cos (x)$ で因数分解します。

$x' (y) + x' \cdot 1 + x' (- 1 e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$

ステップ 5.5.5

$x'$ を $x' y + x' \cdot 1$ で因数分解します。

$x' (y + 1) + x' (- 1 e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$

ステップ 5.5.6

$x'$ を $x' (y + 1) + x' (- 1 e^{y} \cos (x))$ で因数分解します。

$x' (y + 1 - 1 e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$

ステップ 5.6

$- 1 e^{y}$ を $- e^{y}$ に書き換えます。

$x' (y + 1 - e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$

ステップ 5.7

$x' (y + 1 - e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$ の各項を $y + 1 - e^{y} \cos (x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.7.1

$x' (y + 1 - e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$ の各項を $y + 1 - e^{y} \cos (x)$ で割ります。

$\frac{x' (y + 1 - e^{y} \cos (x))}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} = \frac{e^{y} \sin (x)}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} + \frac{- x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

ステップ 5.7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.7.2.1

$y + 1 - e^{y} \cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' (y + 1 - e^{y} \cos (x))}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} = \frac{e^{y} \sin (x)}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} + \frac{- x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

ステップ 5.7.2.1.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{e^{y} \sin (x)}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} + \frac{- x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

ステップ 5.7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.7.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x' = \frac{e^{y} \sin (x)}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} - \frac{x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

ステップ 5.7.3.2

公分母の分子をまとめます。

$x' = \frac{e^{y} \sin (x) - x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{e^{y} \sin (x) - x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

代数 例

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