代数例

$y = 16^{4} \sqrt{4 x^{4} + 4}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 x^{4} + 4}$ を ${(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = 16^{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (16^{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 4.1.1

$16$ を $4$ 乗します。

$\frac{d}{d y} [65536 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.2

$65536$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $65536 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $65536 \frac{d}{d y} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$65536 \frac{d}{d y} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2

$f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ および $g (y) = 4 x^{4} + 4$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 x^{4} + 4$ とします。

$65536 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

ステップ 4.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$65536 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

ステップ 4.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x^{4} + 4$ で置き換えます。

$65536 (\frac{1}{2} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$65536 (\frac{1}{2} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$65536 (\frac{1}{2} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$65536 (\frac{1}{2} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$65536 (\frac{1}{2} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

ステップ 4.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$65536 (\frac{1}{2} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

ステップ 4.7

分数の前に負数を移動させます。

$65536 (\frac{1}{2} {(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

ステップ 4.8

$\frac{1}{2}$ と ${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$65536 (\frac{{(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

ステップ 4.9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$65536 (\frac{1}{2 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

ステップ 4.10

$\frac{1}{2 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ と $65536$ をまとめます。

$\frac{65536}{2 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4]$

ステップ 4.11

$2$ を $65536$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 32768}{2 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4]$

ステップ 4.12

共通因数を約分します。

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ステップ 4.12.1

$2$ を $2 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 32768}{2 ({(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4]$

ステップ 4.12.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 32768}{2 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4]$

ステップ 4.12.3

式を書き換えます。

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4]$

ステップ 4.13

微分します。

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ステップ 4.13.1

総和則では、 $4 x^{4} + 4$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [4 x^{4}] + \frac{d}{d y} [4]$ です。

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [4 x^{4}] + \frac{d}{d y} [4])$

ステップ 4.13.2

$4$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $4 x^{4}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d y} [x^{4}]$ です。

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [4])$

ステップ 4.14

$f (y) = y^{4}$ および $g (y) = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.14.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x$ とします。

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [4])$

ステップ 4.14.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [4])$

ステップ 4.14.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 (4 x^{3} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [4])$

ステップ 4.15

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (16 (x^{3} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [4])$

ステップ 4.16

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (16 x^{3} x' + \frac{d}{d y} [4])$

ステップ 4.17

$4$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (16 x^{3} x' + 0)$

ステップ 4.18

分数をまとめます。

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ステップ 4.18.1

$16 x^{3} x'$ と $0$ をたし算します。

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (16 x^{3} x')$

ステップ 4.18.2

$16$ と $\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{16 \cdot 32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (x^{3} x')$

ステップ 4.18.3

$16$ に $32768$ をかけます。

$\frac{524288}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (x^{3} x')$

ステップ 4.18.4

$x^{3}$ と $\frac{524288}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} \cdot 524288}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} x'$

ステップ 4.18.5

$\frac{x^{3} \cdot 524288}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x'$ をまとめます。

$\frac{x^{3} \cdot 524288 x'}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.18.6

$524288$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{524288 x^{3} x'}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = \frac{524288 x^{3} x'}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6

$x'$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $\frac{524288 x^{3} x'}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 1$ として書き換えます。

$\frac{524288 x^{3} x'}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 1$

ステップ 6.2

両辺に ${(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

$\frac{524288 x^{3} x'}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} = 1 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

${(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{524288 x^{3} x'}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} = 1 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.1.1.2

式を書き換えます。

$524288 x^{3} x' = 1 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

${(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$524288 x^{3} x' = {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.4

$524288 x^{3} x' = {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ の各項を $524288 x^{3}$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.4.1

$524288 x^{3} x' = {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ の各項を $524288 x^{3}$ で割ります。

$\frac{524288 x^{3} x'}{524288 x^{3}} = \frac{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{524288 x^{3}}$

ステップ 6.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

$524288$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{524288 x^{3} x'}{524288 x^{3}} = \frac{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{524288 x^{3}}$

ステップ 6.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{3} x'}{x^{3}} = \frac{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{524288 x^{3}}$

ステップ 6.4.2.2

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{3} x'}{x^{3}} = \frac{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{524288 x^{3}}$

ステップ 6.4.2.2.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{524288 x^{3}}$

ステップ 7

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{524288 x^{3}}$

代数 例

代数例