代数例

$\sqrt{x^{2} - x + 1}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} - x + 1}$ を ${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} - x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - x + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

ステップ 1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

ステップ 1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

ステップ 1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

ステップ 1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

ステップ 1.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

ステップ 1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

ステップ 1.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

ステップ 1.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

ステップ 1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

ステップ 1.8

総和則では、 $x^{2} - x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.10

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.12

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.13

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 + 0)$

ステップ 1.14

$2 x - 1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1)$

ステップ 1.15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.15.1

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1)$ の因数を並べ替えます。

$(2 x - 1) \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.15.2

$2 x - 1$ に $\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 x - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 2.2

$f (x) = 2 x - 1$ および $g (x) = {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.3

${({(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.3.2.2

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.4

簡約します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.5.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.5.4

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.5.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 + 0) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.5.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.5.6.2

$2$ を ${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} - x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - x + 1$ とします。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.6.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.6.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - x + 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.9

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.11

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.11.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{{(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.12

総和則では、 $x^{2} - x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (1)))}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.13

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (1)))}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.14

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)))}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.15

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)))}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.16

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 1 + \frac{d}{d x} (1)))}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.17

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 1 + 0))}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.18

$2 x - 1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 1))}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.19

$2 x - 1$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (2 x - 1) \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.20

$2 x - 1$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (2 x - 1) \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.21

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - {(2 x - 1)}^{1 + 1} \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.22

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - {(2 x - 1)}^{2} \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.23

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と ${(2 x - 1)}^{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{{(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.24

$2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.25

$2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.26

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.27

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.28

指数を足して ${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.28.1

${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 ({(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.28.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.28.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.28.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{2}{2}} - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.28.5

$2$ を $2$ で割ります。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.29

$4 {(x^{2} - x + 1)}^{1}$ を簡約します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

ステップ 2.30

$\frac{\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$ を積として書き換えます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - x + 1})$

ステップ 2.31

$\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{x^{2} - x + 1}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - x + 1)}$

ステップ 2.32

$x^{2} - x + 1$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 ((x^{2} - x + 1) {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 2.33

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

ステップ 2.34

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.34.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

ステップ 2.34.2

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

ステップ 2.34.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.35

$\frac{1}{2}$ に $\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 (2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

ステップ 2.36

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.37

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.37.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 (- x) + 4 \cdot 1 - {(2 x - 1)}^{2}}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.37.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.37.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.37.2.1.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 \cdot 1 - {(2 x - 1)}^{2}}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.37.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - {(2 x - 1)}^{2}}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.37.2.1.3

${(2 x - 1)}^{2}$ を $(2 x - 1) (2 x - 1)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - ((2 x - 1) (2 x - 1))}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.37.2.1.4

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x - 1) (2 x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.37.2.1.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1))}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.37.2.1.4.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1))}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.37.2.1.4.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.37.2.1.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.37.2.1.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.37.2.1.5.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.37.2.1.5.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.37.2.1.5.1.2.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.37.2.1.5.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.37.2.1.5.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.37.2.1.5.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.37.2.1.5.1.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.37.2.1.5.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.37.2.1.5.2

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2} - 4 x + 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.37.2.1.6

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.37.2.1.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.37.2.1.7.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.37.2.1.7.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.37.2.1.7.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x^{2} + 4 x - 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.37.2.2

$4 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x^{2} + 4 x - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.37.2.2.1

$4 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 4 x + 4 + 0 + 4 x - 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.37.2.2.2

$- 4 x + 4$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 4 x + 4 + 4 x - 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.37.2.2.3

$- 4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{0 + 4 - 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.37.2.2.4

$0$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 - 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.37.2.3

$4$ から $1$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{3}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} - x + 1}$ を ${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} - x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - x + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

ステップ 4.1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

ステップ 4.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

ステップ 4.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

ステップ 4.1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

ステップ 4.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

ステップ 4.1.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

ステップ 4.1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

ステップ 4.1.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

ステップ 4.1.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

ステップ 4.1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

ステップ 4.1.8

総和則では、 $x^{2} - x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.1.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.1.10

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.1.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.1.12

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.1.13

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 + 0)$

ステップ 4.1.14

$2 x - 1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1)$

ステップ 4.1.15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.15.1

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1)$ の因数を並べ替えます。

$(2 x - 1) \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.15.2

$2 x - 1$ に $\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$2 x - 1 = 0$

ステップ 5.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x = 1$

ステップ 5.3.2

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 5.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 5.3.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 8

$x = \frac{1}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{3}{4 {({(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1

${(\frac{1}{2})}^{2}$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1} - \frac{1}{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.1.2

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.1.3

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.1.4

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{1})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.1.5

$\frac{1}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.1.6

$\frac{1}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2^{2}} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.3.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{4} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.3.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.3.4.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.4

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.4.1

$- 1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.4.2

$\frac{- 1}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2} + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.4.3

$\frac{- 1}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.4.4

$2$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{2}{1}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.4.5

$\frac{2}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.4.6

$\frac{2}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1 - 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1 - 2 + 2 \cdot 2}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1 - 2 + 4}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.7

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{- 1 + 4}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.8

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{3}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.9

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{3}{4 {(\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.10

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.10.1

$\frac{3}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{3}{4 {(\frac{3}{2 \cdot 2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.10.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{3}{4 {(\frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.11

積の法則を $\frac{3}{4}$ に当てはめます。

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}}$

ステップ 9.1.12

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.12.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

ステップ 9.1.12.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

ステップ 9.1.12.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.12.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

ステップ 9.1.12.3.2

式を書き換えます。

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2^{3}}}$

ステップ 9.1.12.4

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{8}}$

ステップ 9.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$4$ と $\frac{3^{\frac{3}{2}}}{8}$ をまとめます。

$\frac{3}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{8}}$

ステップ 9.2.2

今日数因数で約分することで式 $\frac{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{8}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$4$ を $4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{3}{\frac{4 (3^{\frac{3}{2}})}{8}}$

ステップ 9.2.2.2

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{3}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 2}}$

ステップ 9.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{3}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 2}}$

ステップ 9.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{3}{\frac{3^{\frac{3}{2}}}{2}}$

ステップ 9.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$3 \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.4

$3 \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1

$3$ と $\frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 2}{3^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.4.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6}{3^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10

$x = \frac{1}{2}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{1}{2}$ は極小値です

ステップ 11

$x = \frac{1}{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\frac{1}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2}) + 1}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) + 1}$

ステップ 11.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) + 1}$

ステップ 11.2.3

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1}{4} - (\frac{1}{2}) + 1}$

ステップ 11.2.4

$- \frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + 1}$

ステップ 11.2.5

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.5.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + 1}$

ステップ 11.2.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{2}{4} + 1}$

ステップ 11.2.6

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1 - 2}{4} + 1}$

ステップ 11.2.7

$1$ から $2$ を引きます。

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{- 1}{4} + 1}$

ステップ 11.2.8

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{- 1}{4} + \frac{4}{4}}$

ステップ 11.2.9

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{- 1 + 4}{4}}$

ステップ 11.2.10

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{3}{4}}$

ステップ 11.2.11

$\sqrt{\frac{3}{4}}$ を $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

ステップ 11.2.12

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.12.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 11.2.12.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 11.2.13

最終的な答えは $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 12

$f (x) = \sqrt{x^{2} - x + 1}$ の極値です。

$(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ は極小値です

ステップ 13

代数 例

代数例