代数例

$p (t) = \frac{2000 t}{4 t + 75}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$2000$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{2000 t}{4 t + 75}$ の微分係数は $2000 \frac{d}{d t} [\frac{t}{4 t + 75}]$ です。

$2000 \frac{d}{d t} [\frac{t}{4 t + 75}]$

ステップ 1.2

$f (t) = t$ および $g (t) = 4 t + 75$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$2000 \frac{(4 t + 75) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [4 t + 75]}{{(4 t + 75)}^{2}}$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2000 \frac{(4 t + 75) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [4 t + 75]}{{(4 t + 75)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

$4 t + 75$ に $1$ をかけます。

$2000 \frac{4 t + 75 - t \frac{d}{d t} [4 t + 75]}{{(4 t + 75)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $4 t + 75$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [75]$ です。

$2000 \frac{4 t + 75 - t (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [75])}{{(4 t + 75)}^{2}}$

ステップ 1.3.4

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $4 t$ の微分係数は $4 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2000 \frac{4 t + 75 - t (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [75])}{{(4 t + 75)}^{2}}$

ステップ 1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2000 \frac{4 t + 75 - t (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [75])}{{(4 t + 75)}^{2}}$

ステップ 1.3.6

$4$ に $1$ をかけます。

$2000 \frac{4 t + 75 - t (4 + \frac{d}{d t} [75])}{{(4 t + 75)}^{2}}$

ステップ 1.3.7

$75$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $75$ の微分係数は $0$ です。

$2000 \frac{4 t + 75 - t (4 + 0)}{{(4 t + 75)}^{2}}$

ステップ 1.3.8

項を簡約します。

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ステップ 1.3.8.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$2000 \frac{4 t + 75 - t \cdot 4}{{(4 t + 75)}^{2}}$

ステップ 1.3.8.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$2000 \frac{4 t + 75 - 4 t}{{(4 t + 75)}^{2}}$

ステップ 1.3.8.3

$4 t$ から $4 t$ を引きます。

$2000 \frac{0 + 75}{{(4 t + 75)}^{2}}$

ステップ 1.3.8.4

$0$ と $75$ をたし算します。

$2000 \frac{75}{{(4 t + 75)}^{2}}$

ステップ 1.3.8.5

$2000$ と $\frac{75}{{(4 t + 75)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2000 \cdot 75}{{(4 t + 75)}^{2}}$

ステップ 1.3.8.6

$2000$ に $75$ をかけます。

$f' (t) = \frac{150000}{{(4 t + 75)}^{2}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

$150000$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{150000}{{(4 t + 75)}^{2}}$ の微分係数は $150000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(4 t + 75)}^{2}}]$ です。

$150000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(4 t + 75)}^{2}}]$

ステップ 2.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{{(4 t + 75)}^{2}}$ を ${({(4 t + 75)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$150000 \frac{d}{d t} [{({(4 t + 75)}^{2})}^{- 1}]$

ステップ 2.1.2.2

${({(4 t + 75)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$150000 \frac{d}{d t} [{(4 t + 75)}^{2 \cdot - 1}]$

ステップ 2.1.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$150000 \frac{d}{d t} [{(4 t + 75)}^{- 2}]$

ステップ 2.2

$f (t) = t^{- 2}$ および $g (t) = 4 t + 75$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 t + 75$ とします。

$150000 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d t} [4 t + 75])$

ステップ 2.2.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$150000 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} [4 t + 75])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $4 t + 75$ で置き換えます。

$150000 (- 2 {(4 t + 75)}^{- 3} \frac{d}{d t} [4 t + 75])$

ステップ 2.3

微分します。

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ステップ 2.3.1

$- 2$ に $150000$ をかけます。

$- 300000 ({(4 t + 75)}^{- 3} \frac{d}{d t} [4 t + 75])$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $4 t + 75$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [75]$ です。

$- 300000 {(4 t + 75)}^{- 3} (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [75])$

ステップ 2.3.3

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $4 t$ の微分係数は $4 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- 300000 {(4 t + 75)}^{- 3} (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [75])$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 300000 {(4 t + 75)}^{- 3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [75])$

ステップ 2.3.5

$4$ に $1$ をかけます。

$- 300000 {(4 t + 75)}^{- 3} (4 + \frac{d}{d t} [75])$

ステップ 2.3.6

$75$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $75$ の微分係数は $0$ です。

$- 300000 {(4 t + 75)}^{- 3} (4 + 0)$

ステップ 2.3.7

式を簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$- 300000 {(4 t + 75)}^{- 3} \cdot 4$

ステップ 2.3.7.2

$4$ に $- 300000$ をかけます。

$- 1200000 {(4 t + 75)}^{- 3}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 1200000 \frac{1}{{(4 t + 75)}^{3}}$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

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ステップ 2.4.2.1

$- 1200000$ と $\frac{1}{{(4 t + 75)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{- 1200000}{{(4 t + 75)}^{3}}$

ステップ 2.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (t) = - \frac{1200000}{{(4 t + 75)}^{3}}$

ステップ 3

$t$ に関する $p (t)$ の二次導関数は $- \frac{1200000}{{(4 t + 75)}^{3}}$ です。

$- \frac{1200000}{{(4 t + 75)}^{3}}$

代数 例

代数例