代数例

$x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

ステップ 1

$x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

有理根検定を用いて $x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1$

ステップ 2.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

ステップ 2.1.1.3

$5$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $5$ は多項式の根です。

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ステップ 2.1.1.3.1

$5$ を多項式に代入します。

$5^{3} - 15 \cdot 5^{2} + 75 \cdot 5 - 125$

ステップ 2.1.1.3.2

$5$ を $3$ 乗します。

$125 - 15 \cdot 5^{2} + 75 \cdot 5 - 125$

ステップ 2.1.1.3.3

$5$ を $2$ 乗します。

$125 - 15 \cdot 25 + 75 \cdot 5 - 125$

ステップ 2.1.1.3.4

$- 15$ に $25$ をかけます。

$125 - 375 + 75 \cdot 5 - 125$

ステップ 2.1.1.3.5

$125$ から $375$ を引きます。

$- 250 + 75 \cdot 5 - 125$

ステップ 2.1.1.3.6

$75$ に $5$ をかけます。

$- 250 + 375 - 125$

ステップ 2.1.1.3.7

$- 250$ と $375$ をたし算します。

$125 - 125$

ステップ 2.1.1.3.8

$125$ から $125$ を引きます。

$0$

ステップ 2.1.1.4

$5$ は既知の根なので、多項式を $x - 5$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125}{x - 5}$

ステップ 2.1.1.5

$x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ を $x - 5$ で割ります。

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ステップ 2.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$5$

$x^{3}$

$15 x^{2}$

$75 x$

$125$

ステップ 2.1.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$

ステップ 2.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - 5 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$

ステップ 2.1.1.5.7

被除数 $- 10 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$

ステップ 2.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$50 x$

ステップ 2.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 10 x^{2} + 50 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$

ステップ 2.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$

ステップ 2.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$

ステップ 2.1.1.5.12

被除数 $25 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$

ステップ 2.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$
							+	$25 x$	-	$125$

ステップ 2.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $25 x - 125$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$
							-	$25 x$	+	$125$

ステップ 2.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$
							-	$25 x$	+	$125$
										$0$

ステップ 2.1.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 10 x + 25$

ステップ 2.1.1.6

$x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 5) (x^{2} - 10 x + 25) = 0$

ステップ 2.1.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$(x - 5) (x^{2} - 10 x + 5^{2}) = 0$

ステップ 2.1.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

ステップ 2.1.2.3

多項式を書き換えます。

$(x - 5) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

ステップ 2.1.2.4

$a = x$ と $b = 5$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(x - 5) {(x - 5)}^{2} = 0$

ステップ 2.1.3

同類因数をまとめます

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ステップ 2.1.3.1

$x - 5$ を $1$ 乗します。

$(x - 5) {(x - 5)}^{2} = 0$

ステップ 2.1.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(x - 5)}^{1 + 2} = 0$

ステップ 2.1.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

${(x - 5)}^{3} = 0$

ステップ 2.2

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 2.3

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$ （ $3$ の重複度）

ステップ 3

代数 例

代数例