代数例

$\ln (x + 2 y) = x^{4}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\ln (x + 2 y)) = \frac{d}{d x} (x^{4})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x + 2 y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 2 y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $x + 2 y$ で置き換えます。

$\frac{1}{x + 2 y} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $x + 2 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ です。

$\frac{1}{x + 2 y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y])$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x + 2 y} (1 + \frac{d}{d x} [2 y])$

ステップ 2.2.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{1}{x + 2 y} (1 + 2 \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{1}{x + 2 y} (1 + 2 y')$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\frac{1}{x + 2 y} (1 + 2 y')$ の因数を並べ替えます。

$(1 + 2 y') \frac{1}{x + 2 y}$

ステップ 2.4.2

$1 + 2 y'$ に $\frac{1}{x + 2 y}$ をかけます。

$\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y}$

ステップ 3

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y} = 4 x^{3}$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

両辺に $x + 2 y$ を掛けます。

$\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y} (x + 2 y) = 4 x^{3} (x + 2 y)$

ステップ 5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y} (x + 2 y)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

$x + 2 y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y} (x + 2 y) = 4 x^{3} (x + 2 y)$

ステップ 5.2.1.1.1.2

式を書き換えます。

$1 + 2 y' = 4 x^{3} (x + 2 y)$

ステップ 5.2.1.1.2

$1$ と $2 y'$ を並べ替えます。

$2 y' + 1 = 4 x^{3} (x + 2 y)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$4 x^{3} (x + 2 y)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$2 y' + 1 = 4 x^{3} x + 4 x^{3} (2 y)$

ステップ 5.2.2.1.2

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$2 y' + 1 = 4 (x \cdot x^{3}) + 4 x^{3} (2 y)$

ステップ 5.2.2.1.2.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 y' + 1 = 4 (x^{1} x^{3}) + 4 x^{3} (2 y)$

ステップ 5.2.2.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 y' + 1 = 4 x^{1 + 3} + 4 x^{3} (2 y)$

ステップ 5.2.2.1.2.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$2 y' + 1 = 4 x^{4} + 4 x^{3} (2 y)$

ステップ 5.2.2.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 y' + 1 = 4 x^{4} + 4 \cdot 2 x^{3} y$

ステップ 5.2.2.1.4

$4$ に $2$ をかけます。

$2 y' + 1 = 4 x^{4} + 8 x^{3} y$

ステップ 5.2.2.1.5

$4 x^{4}$ と $8 x^{3} y$ を並べ替えます。

$2 y' + 1 = 8 x^{3} y + 4 x^{4}$

ステップ 5.3

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 y' = 8 x^{3} y + 4 x^{4} - 1$

ステップ 5.3.2

$2 y' = 8 x^{3} y + 4 x^{4} - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$2 y' = 8 x^{3} y + 4 x^{4} - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y'}{2} = \frac{8 x^{3} y}{2} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y'}{2} = \frac{8 x^{3} y}{2} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.3.2.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{8 x^{3} y}{2} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.1.1

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.1.1.1

$2$ を $8 x^{3} y$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (4 x^{3} y)}{2} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.3.2.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.1.1.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (4 x^{3} y)}{2 (1)} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.3.2.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 (4 x^{3} y)}{2 \cdot 1} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.3.2.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{4 x^{3} y}{1} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.3.2.3.1.1.2.4

$4 x^{3} y$ を $1$ で割ります。

$y' = 4 x^{3} y + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.3.2.3.1.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.1.2.1

$2$ を $4 x^{4}$ で因数分解します。

$y' = 4 x^{3} y + \frac{2 (2 x^{4})}{2} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.3.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.1.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y' = 4 x^{3} y + \frac{2 (2 x^{4})}{2 (1)} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.3.2.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y' = 4 x^{3} y + \frac{2 (2 x^{4})}{2 \cdot 1} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.3.2.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y' = 4 x^{3} y + \frac{2 x^{4}}{1} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.3.2.3.1.2.2.4

$2 x^{4}$ を $1$ で割ります。

$y' = 4 x^{3} y + 2 x^{4} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.3.2.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = 4 x^{3} y + 2 x^{4} - \frac{1}{2}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} y + 2 x^{4} - \frac{1}{2}$

代数 例

代数例