代数例

${(3 x + 4 y)}^{6}$

ステップ 1

パスカルの三角形はこのように表すことができます：

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

三角形は、指数 $n$ をとり $1$ を足すと ${(a + b)}^{n}$ の展開の係数を計算するために利用することができます。係数は三角形の線 $n + 1$ に対応します。 ${(3 x + 4 y)}^{6}$ に対して $n = 6$ なので、展開の係数は線 $7$ に対応します。

ステップ 2

展開は法則 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ に従います。三角形からの係数の値は $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ です。

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

ステップ 3

$a$ $3 x$ と $b$ $4 y$ の実価を式に代入します。

$1 {(3 x)}^{6} {(4 y)}^{0} + 6 {(3 x)}^{5} {(4 y)}^{1} + 15 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{2} + 20 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{3} + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1

${(3 x)}^{6}$ に $1$ をかけます。

${(3 x)}^{6} {(4 y)}^{0} + 6 {(3 x)}^{5} {(4 y)}^{1} + 15 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{2} + 20 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{3} + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.2

積の法則を $3 x$ に当てはめます。

$3^{6} x^{6} {(4 y)}^{0} + 6 {(3 x)}^{5} {(4 y)}^{1} + 15 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{2} + 20 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{3} + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.3

$3$ を $6$ 乗します。

$729 x^{6} {(4 y)}^{0} + 6 {(3 x)}^{5} {(4 y)}^{1} + 15 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{2} + 20 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{3} + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.4

積の法則を $4 y$ に当てはめます。

$729 x^{6} (4^{0} y^{0}) + 6 {(3 x)}^{5} {(4 y)}^{1} + 15 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{2} + 20 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{3} + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$729 \cdot 4^{0} x^{6} y^{0} + 6 {(3 x)}^{5} {(4 y)}^{1} + 15 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{2} + 20 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{3} + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.6

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$729 \cdot 1 x^{6} y^{0} + 6 {(3 x)}^{5} {(4 y)}^{1} + 15 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{2} + 20 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{3} + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.7

$729$ に $1$ をかけます。

$729 x^{6} y^{0} + 6 {(3 x)}^{5} {(4 y)}^{1} + 15 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{2} + 20 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{3} + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.8

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$729 x^{6} \cdot 1 + 6 {(3 x)}^{5} {(4 y)}^{1} + 15 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{2} + 20 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{3} + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.9

$729$ に $1$ をかけます。

$729 x^{6} + 6 {(3 x)}^{5} {(4 y)}^{1} + 15 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{2} + 20 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{3} + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.10

積の法則を $3 x$ に当てはめます。

$729 x^{6} + 6 (3^{5} x^{5}) {(4 y)}^{1} + 15 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{2} + 20 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{3} + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.11

$3$ を $5$ 乗します。

$729 x^{6} + 6 (243 x^{5}) {(4 y)}^{1} + 15 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{2} + 20 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{3} + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.12

$243$ に $6$ をかけます。

$729 x^{6} + 1458 x^{5} {(4 y)}^{1} + 15 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{2} + 20 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{3} + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.13

簡約します。

$729 x^{6} + 1458 x^{5} (4 y) + 15 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{2} + 20 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{3} + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.14

積の可換性を利用して書き換えます。

$729 x^{6} + 1458 \cdot 4 x^{5} y + 15 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{2} + 20 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{3} + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.15

$1458$ に $4$ をかけます。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 15 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{2} + 20 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{3} + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.16

積の法則を $3 x$ に当てはめます。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 15 (3^{4} x^{4}) {(4 y)}^{2} + 20 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{3} + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.17

$3$ を $4$ 乗します。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 15 (81 x^{4}) {(4 y)}^{2} + 20 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{3} + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.18

$81$ に $15$ をかけます。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 1215 x^{4} {(4 y)}^{2} + 20 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{3} + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.19

積の法則を $4 y$ に当てはめます。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 1215 x^{4} (4^{2} y^{2}) + 20 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{3} + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.20

積の可換性を利用して書き換えます。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 1215 \cdot 4^{2} x^{4} y^{2} + 20 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{3} + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.21

$4$ を $2$ 乗します。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 1215 \cdot 16 x^{4} y^{2} + 20 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{3} + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.22

$1215$ に $16$ をかけます。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 19440 x^{4} y^{2} + 20 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{3} + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.23

積の法則を $3 x$ に当てはめます。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 19440 x^{4} y^{2} + 20 (3^{3} x^{3}) {(4 y)}^{3} + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.24

$3$ を $3$ 乗します。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 19440 x^{4} y^{2} + 20 (27 x^{3}) {(4 y)}^{3} + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.25

$27$ に $20$ をかけます。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 19440 x^{4} y^{2} + 540 x^{3} {(4 y)}^{3} + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.26

積の法則を $4 y$ に当てはめます。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 19440 x^{4} y^{2} + 540 x^{3} (4^{3} y^{3}) + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.27

積の可換性を利用して書き換えます。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 19440 x^{4} y^{2} + 540 \cdot 4^{3} x^{3} y^{3} + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.28

$4$ を $3$ 乗します。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 19440 x^{4} y^{2} + 540 \cdot 64 x^{3} y^{3} + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.29

$540$ に $64$ をかけます。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 19440 x^{4} y^{2} + 34560 x^{3} y^{3} + 15 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.30

積の法則を $3 x$ に当てはめます。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 19440 x^{4} y^{2} + 34560 x^{3} y^{3} + 15 (3^{2} x^{2}) {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.31

$3$ を $2$ 乗します。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 19440 x^{4} y^{2} + 34560 x^{3} y^{3} + 15 (9 x^{2}) {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.32

$9$ に $15$ をかけます。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 19440 x^{4} y^{2} + 34560 x^{3} y^{3} + 135 x^{2} {(4 y)}^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.33

積の法則を $4 y$ に当てはめます。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 19440 x^{4} y^{2} + 34560 x^{3} y^{3} + 135 x^{2} (4^{4} y^{4}) + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.34

積の可換性を利用して書き換えます。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 19440 x^{4} y^{2} + 34560 x^{3} y^{3} + 135 \cdot 4^{4} x^{2} y^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.35

$4$ を $4$ 乗します。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 19440 x^{4} y^{2} + 34560 x^{3} y^{3} + 135 \cdot 256 x^{2} y^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.36

$135$ に $256$ をかけます。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 19440 x^{4} y^{2} + 34560 x^{3} y^{3} + 34560 x^{2} y^{4} + 6 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.37

簡約します。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 19440 x^{4} y^{2} + 34560 x^{3} y^{3} + 34560 x^{2} y^{4} + 6 (3 x) {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.38

$3$ に $6$ をかけます。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 19440 x^{4} y^{2} + 34560 x^{3} y^{3} + 34560 x^{2} y^{4} + 18 x {(4 y)}^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.39

積の法則を $4 y$ に当てはめます。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 19440 x^{4} y^{2} + 34560 x^{3} y^{3} + 34560 x^{2} y^{4} + 18 x (4^{5} y^{5}) + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.40

積の可換性を利用して書き換えます。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 19440 x^{4} y^{2} + 34560 x^{3} y^{3} + 34560 x^{2} y^{4} + 18 \cdot 4^{5} x y^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.41

$4$ を $5$ 乗します。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 19440 x^{4} y^{2} + 34560 x^{3} y^{3} + 34560 x^{2} y^{4} + 18 \cdot 1024 x y^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.42

$18$ に $1024$ をかけます。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 19440 x^{4} y^{2} + 34560 x^{3} y^{3} + 34560 x^{2} y^{4} + 18432 x y^{5} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.43

${(3 x)}^{0}$ に $1$ をかけます。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 19440 x^{4} y^{2} + 34560 x^{3} y^{3} + 34560 x^{2} y^{4} + 18432 x y^{5} + {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.44

積の法則を $3 x$ に当てはめます。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 19440 x^{4} y^{2} + 34560 x^{3} y^{3} + 34560 x^{2} y^{4} + 18432 x y^{5} + 3^{0} x^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.45

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 19440 x^{4} y^{2} + 34560 x^{3} y^{3} + 34560 x^{2} y^{4} + 18432 x y^{5} + 1 x^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.46

$x^{0}$ に $1$ をかけます。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 19440 x^{4} y^{2} + 34560 x^{3} y^{3} + 34560 x^{2} y^{4} + 18432 x y^{5} + x^{0} {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.47

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 19440 x^{4} y^{2} + 34560 x^{3} y^{3} + 34560 x^{2} y^{4} + 18432 x y^{5} + 1 {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.48

${(4 y)}^{6}$ に $1$ をかけます。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 19440 x^{4} y^{2} + 34560 x^{3} y^{3} + 34560 x^{2} y^{4} + 18432 x y^{5} + {(4 y)}^{6}$

ステップ 4.49

積の法則を $4 y$ に当てはめます。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 19440 x^{4} y^{2} + 34560 x^{3} y^{3} + 34560 x^{2} y^{4} + 18432 x y^{5} + 4^{6} y^{6}$

ステップ 4.50

$4$ を $6$ 乗します。

$729 x^{6} + 5832 x^{5} y + 19440 x^{4} y^{2} + 34560 x^{3} y^{3} + 34560 x^{2} y^{4} + 18432 x y^{5} + 4096 y^{6}$

代数 例

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