代数例

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$

ステップ 1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1^{2} = 0$

ステップ 1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 \cos (x) = 2 \cdot \cos (x) \cdot 1$

ステップ 1.3

多項式を書き換えます。

$\cos^{2} (x) + 2 \cdot \cos (x) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

ステップ 1.4

$a = \cos (x)$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(\cos (x) + 1)}^{2} = 0$

ステップ 2

$\cos (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) + 1 = 0$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\cos (x) = - 1$

ステップ 3.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- 1)$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$\arccos (- 1)$ の厳密値は $π$ です。

$x = π$

ステップ 3.4

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - π$

ステップ 3.5

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = π$

ステップ 3.6

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.7

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

代数 例

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