代数例

$x y^{6} - y = x$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (x y^{6} - y) = \frac{d}{d y} (x)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x y^{6} - y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x y^{6}] + \frac{d}{d y} [- y]$ です。

$\frac{d}{d y} [x y^{6}] + \frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d y} [x y^{6}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (y) = x$ および $g (y) = y^{6}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d y} [y^{6}] + y^{6} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 2.2.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (6 y^{5}) + y^{6} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$x (6 y^{5}) + y^{6} x' + \frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 2.2.4

$6$ を $x$ の左に移動させます。

$6 x y^{5} + y^{6} x' + \frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d y} [- y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$6 x y^{5} + y^{6} x' - \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x y^{5} + y^{6} x' - 1 \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$6 x y^{5} + y^{6} x' - 1$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$6 y^{5} x + y^{6} x' - 1$

ステップ 3

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$x'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$6 y^{5} x + y^{6} x' - 1 = x'$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式の両辺から $x'$ を引きます。

$6 y^{5} x + y^{6} x' - 1 - x' = 0$

ステップ 5.2

$x'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $6 y^{5} x$ を引きます。

$y^{6} x' - 1 - x' = - 6 y^{5} x$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y^{6} x' - x' = - 6 y^{5} x + 1$

ステップ 5.3

$x'$ を $y^{6} x' - x'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$x'$ を $y^{6} x'$ で因数分解します。

$x' y^{6} - x' = - 6 y^{5} x + 1$

ステップ 5.3.2

$x'$ を $- x'$ で因数分解します。

$x' y^{6} + x' \cdot - 1 = - 6 y^{5} x + 1$

ステップ 5.3.3

$x'$ を $x' y^{6} + x' \cdot - 1$ で因数分解します。

$x' (y^{6} - 1) = - 6 y^{5} x + 1$

ステップ 5.4

$y^{6}$ を ${(y^{2})}^{3}$ に書き換えます。

$x' ({(y^{2})}^{3} - 1) = - 6 y^{5} x + 1$

ステップ 5.5

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$x' ({(y^{2})}^{3} - 1^{3}) = - 6 y^{5} x + 1$

ステップ 5.6

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y^{2}$ であり、 $b = 1$ です。

$x' ((y^{2} - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

ステップ 5.7

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x' ((y^{2} - 1^{2}) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

ステップ 5.7.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 1$ です。

$x' ((y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

ステップ 5.7.1.3

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$x' ((y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

ステップ 5.7.2

不要な括弧を削除します。

$x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1^{2}) = - 6 y^{5} x + 1$

ステップ 5.8

1のすべての数の累乗は1です。

$x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1) = - 6 y^{5} x + 1$

ステップ 5.9

$x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1) = - 6 y^{5} x + 1$ の各項を $(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.1

$x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1) = - 6 y^{5} x + 1$ の各項を $(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)$ で割ります。

$\frac{x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

ステップ 5.9.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.2.1

$y + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.9.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x' (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{(y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

ステップ 5.9.2.2

$y - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.2.2.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.9.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{x' ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{{(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

ステップ 5.9.2.3

${(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{{(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

ステップ 5.9.2.3.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

ステップ 5.9.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.3.1.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.3.1.1.1

${(y^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.3.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2 \cdot 2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

ステップ 5.9.3.1.1.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

ステップ 5.9.3.1.1.2

因数分解した形で $y^{4} + y^{2} + 1$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.3.1.1.2.1

中項を書き換えます。

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 - y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

ステップ 5.9.3.1.1.2.2

項を並べ替えます。

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 + 1 - y^{2})} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

ステップ 5.9.3.1.1.2.3

最初の3項を完全平方式で因数分解します。

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2} + 1)}^{2} - y^{2})} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

ステップ 5.9.3.1.1.2.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y^{2} + 1$ であり、 $b = y$ です。

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + 1 + y) (y^{2} + 1 - y))} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

ステップ 5.9.3.1.1.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.3.1.1.2.5.1

項を並べ替えます。

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} + 1 - y))} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

ステップ 5.9.3.1.1.2.5.2

項を並べ替えます。

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1))} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

ステップ 5.9.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

ステップ 5.9.3.1.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.3.1.3.1

${(y^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.3.1.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{2 \cdot 2} + y^{2} + 1)}$

ステップ 5.9.3.1.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + y^{2} + 1)}$

ステップ 5.9.3.1.3.2

因数分解した形で $y^{4} + y^{2} + 1$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.3.1.3.2.1

中項を書き換えます。

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 - y^{2} + 1)}$

ステップ 5.9.3.1.3.2.2

項を並べ替えます。

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 + 1 - y^{2})}$

ステップ 5.9.3.1.3.2.3

最初の3項を完全平方式で因数分解します。

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2} + 1)}^{2} - y^{2})}$

ステップ 5.9.3.1.3.2.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y^{2} + 1$ であり、 $b = y$ です。

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + 1 + y) (y^{2} + 1 - y))}$

ステップ 5.9.3.1.3.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.3.1.3.2.5.1

項を並べ替えます。

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} + 1 - y))}$

ステップ 5.9.3.1.3.2.5.2

項を並べ替えます。

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1))}$

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

代数 例

代数例