代数例

$y = \ln (x^{5})$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \ln (y^{5})$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $\ln (y^{5}) = x$ として書き換えます。

$\ln (y^{5}) = x$

ステップ 2.2

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (y^{5})} = e^{x}$

ステップ 2.3

対数の定義を利用して $\ln (y^{5}) = x$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{x} = y^{5}$

ステップ 2.4

$y$ について解きます。

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ステップ 2.4.1

方程式を $y^{5} = e^{x}$ として書き換えます。

$y^{5} = e^{x}$

ステップ 2.4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[5]{e^{x}}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{e^{x}}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{e^{x}}$ が $f (x) = \ln (x^{5})$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\ln (x^{5}))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\ln (x^{5})) = \sqrt[5]{e^{\ln (x^{5})}}$

ステップ 4.2.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f^{- 1} (\ln (x^{5})) = \sqrt[5]{x^{5}}$

ステップ 4.2.4

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (\ln (x^{5})) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\sqrt[5]{e^{x}})$ の値を求めます。

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = \ln ({(\sqrt[5]{e^{x}})}^{5})$

ステップ 4.3.3

${\sqrt[5]{e^{x}}}^{5}$ を $e^{x}$ に書き換えます。

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ステップ 4.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[5]{e^{x}}$ を $e^{\frac{x}{5}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = \ln ({(e^{\frac{x}{5}})}^{5})$

ステップ 4.3.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = \ln (e^{\frac{x}{5} \cdot 5})$

ステップ 4.3.3.3

$\frac{x}{5}$ と $5$ をまとめます。

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = \ln (e^{\frac{x \cdot 5}{5}})$

ステップ 4.3.3.4

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = \ln (e^{\frac{x \cdot 5}{5}})$

ステップ 4.3.3.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = \ln (e^{x})$

ステップ 4.3.4

対数の法則を利用して指数の外に $x$ を移動します。

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = x \ln (e)$

ステップ 4.3.5

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = x \cdot 1$

ステップ 4.3.6

$x$ に $1$ をかけます。

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{e^{x}}$ は $f (x) = \ln (x^{5})$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{e^{x}}$

代数 例

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