代数例

$f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$

ステップ 1

$f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ を方程式で書きます。

$y = \frac{1}{x^{4}} - 7$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{1}{y^{4}} - 7$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\frac{1}{y^{4}} - 7 = x$ として書き換えます。

$\frac{1}{y^{4}} - 7 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$\frac{1}{y^{4}} = x + 7$

ステップ 3.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y^{4}, 1, 1$

ステップ 3.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y^{4}$

ステップ 3.4

$\frac{1}{y^{4}} = x + 7$ の各項に $y^{4}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.4.1

$\frac{1}{y^{4}} = x + 7$ の各項に $y^{4}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{4}} y^{4} = x y^{4} + 7 y^{4}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$y^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{4}} y^{4} = x y^{4} + 7 y^{4}$

ステップ 3.4.2.1.2

式を書き換えます。

$1 = x y^{4} + 7 y^{4}$

ステップ 3.5

方程式を解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式を $x y^{4} + 7 y^{4} = 1$ として書き換えます。

$x y^{4} + 7 y^{4} = 1$

ステップ 3.5.2

$y^{4}$ を $x y^{4} + 7 y^{4}$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.2.1

$y^{4}$ を $x y^{4}$ で因数分解します。

$y^{4} x + 7 y^{4} = 1$

ステップ 3.5.2.2

$y^{4}$ を $7 y^{4}$ で因数分解します。

$y^{4} x + y^{4} \cdot 7 = 1$

ステップ 3.5.2.3

$y^{4}$ を $y^{4} x + y^{4} \cdot 7$ で因数分解します。

$y^{4} (x + 7) = 1$

ステップ 3.5.3

$y^{4} (x + 7) = 1$ の各項を $x + 7$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

$y^{4} (x + 7) = 1$ の各項を $x + 7$ で割ります。

$\frac{y^{4} (x + 7)}{x + 7} = \frac{1}{x + 7}$

ステップ 3.5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.2.1

$x + 7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{4} (x + 7)}{x + 7} = \frac{1}{x + 7}$

ステップ 3.5.3.2.1.2

$y^{4}$ を $1$ で割ります。

$y^{4} = \frac{1}{x + 7}$

ステップ 3.5.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x + 7}}$

ステップ 3.5.5

$\pm \sqrt[4]{\frac{1}{x + 7}}$ を簡約します。

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ステップ 3.5.5.1

$\sqrt[4]{\frac{1}{x + 7}}$ を $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{x + 7}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{x + 7}}$

ステップ 3.5.5.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$y = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{x + 7}}$

ステップ 3.5.5.3

$\frac{1}{\sqrt[4]{x + 7}}$ に $\frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{x + 7}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$

ステップ 3.5.5.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.5.5.4.1

$\frac{1}{\sqrt[4]{x + 7}}$ に $\frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{\sqrt[4]{x + 7} {\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$

ステップ 3.5.5.4.2

$\sqrt[4]{x + 7}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{1} {\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$

ステップ 3.5.5.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{1 + 3}}$

ステップ 3.5.5.4.4

$1$ と $3$ をたし算します。

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{4}}$

ステップ 3.5.5.4.5

${\sqrt[4]{x + 7}}^{4}$ を $x + 7$ に書き換えます。

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ステップ 3.5.5.4.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{x + 7}$ を ${(x + 7)}^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{({(x + 7)}^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

ステップ 3.5.5.4.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{(x + 7)}^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

ステップ 3.5.5.4.5.3

$\frac{1}{4}$ と $4$ をまとめます。

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{(x + 7)}^{\frac{4}{4}}}$

ステップ 3.5.5.4.5.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.5.4.5.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{(x + 7)}^{\frac{4}{4}}}$

ステップ 3.5.5.4.5.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{(x + 7)}^{1}}$

ステップ 3.5.5.4.5.5

簡約します。

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{x + 7}$

ステップ 3.5.5.5

${\sqrt[4]{x + 7}}^{3}$ を $\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

ステップ 3.5.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。