代数例

$y = {(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = {(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を ${(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}} = x$ として書き換えます。

${(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}} = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln ({(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \ln (x)$

ステップ 2.3

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\frac{1}{2}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}})$ を展開します。

$\frac{1}{2} \ln (\frac{5^{y}}{2}) = \ln (x)$

ステップ 2.3.2

$\ln (\frac{5^{y}}{2})$ を $\ln (5^{y}) - \ln (2)$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (\ln (5^{y}) - \ln (2)) = \ln (x)$

ステップ 2.3.3

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (5^{y})$ を展開します。

$\frac{1}{2} (y \ln (5) - \ln (2)) = \ln (x)$

ステップ 2.4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\frac{1}{2} (y \ln (5) - \ln (2))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (y \ln (5)) + \frac{1}{2} (- \ln (2)) = \ln (x)$

ステップ 2.4.1.2

$\frac{1}{2} (y \ln (5))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.2.1

$y$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{y}{2} \ln (5) + \frac{1}{2} (- \ln (2)) = \ln (x)$

ステップ 2.4.1.2.2

$\frac{y}{2}$ と $\ln (5)$ をまとめます。

$\frac{y \ln (5)}{2} + \frac{1}{2} (- \ln (2)) = \ln (x)$

ステップ 2.4.1.3

$\frac{1}{2}$ と $\ln (2)$ をまとめます。

$\frac{y \ln (5)}{2} - \frac{\ln (2)}{2} = \ln (x)$

ステップ 2.5

$\frac{y \ln (5)}{2} - \frac{\ln (2)}{2} = \ln (x)$ の各項に $2$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$\frac{y \ln (5)}{2} - \frac{\ln (2)}{2} = \ln (x)$ の各項に $2$ を掛けます。

$\frac{y \ln (5)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

ステップ 2.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (5)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

ステップ 2.5.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y \ln (5) - \frac{\ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

ステップ 2.5.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.2.1

$- \frac{\ln (2)}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y \ln (5) + \frac{- \ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

ステップ 2.5.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$y \ln (5) + \frac{- \ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

ステップ 2.5.2.1.2.3

式を書き換えます。

$y \ln (5) - \ln (2) = \ln (x) \cdot 2$

ステップ 2.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1

$2$ を $\ln (x)$ の左に移動させます。

$y \ln (5) - \ln (2) = 2 \ln (x)$

ステップ 2.6

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$y \ln (5) - \ln (2) - 2 \ln (x) = 0$

ステップ 2.7

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

方程式の両辺に $\ln (2)$ を足します。

$y \ln (5) - 2 \ln (x) = \ln (2)$

ステップ 2.7.2

方程式の両辺に $2 \ln (x)$ を足します。

$y \ln (5) = \ln (2) + 2 \ln (x)$

ステップ 2.8

$y \ln (5) = \ln (2) + 2 \ln (x)$ の各項を $\ln (5)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

$y \ln (5) = \ln (2) + 2 \ln (x)$ の各項を $\ln (5)$ で割ります。

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

ステップ 2.8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.1

$\ln (5)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

ステップ 2.8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$ が $f (x) = {(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}})$ の値を求めます。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}})}{\ln (5)}$

ステップ 4.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}})}{\ln (5)}$

ステップ 4.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

積の法則を $\frac{5^{x}}{2}$ に当てはめます。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln (\frac{{(5^{x})}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}{\ln (5)}$

ステップ 4.2.4.2

${(5^{x})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln (\frac{5^{x (\frac{1}{2})}}{2^{\frac{1}{2}}})}{\ln (5)}$

ステップ 4.2.4.2.2

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln (\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}{\ln (5)}$

ステップ 4.2.4.3

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})$ を簡約します。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln ({(\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2})}{\ln (5)}$

ステップ 4.2.4.4

積の法則を $\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$ に当てはめます。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{{(5^{\frac{x}{2}})}^{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

ステップ 4.2.4.5

${(5^{\frac{x}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{\frac{x}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

ステップ 4.2.4.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.5.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{\frac{x}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

ステップ 4.2.4.5.2.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

ステップ 4.2.4.6

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.6.1

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.6.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{\ln (5)}$

ステップ 4.2.4.6.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.6.1.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{\ln (5)}$

ステップ 4.2.4.6.1.2.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2})}{\ln (5)}$

ステップ 4.2.4.6.2

指数を求めます。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2})}{\ln (5)}$

ステップ 4.2.5

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2 (\frac{5^{x}}{2}))}{\ln (5)}$

ステップ 4.2.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2 (\frac{5^{x}}{2}))}{\ln (5)}$

ステップ 4.2.6.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (5^{x})}{\ln (5)}$

ステップ 4.2.7

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (5^{x})$ を展開します。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

ステップ 4.2.8

$\ln (5)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

ステップ 4.2.8.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)})$ の値を求めます。

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.3.3

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (x)$ を簡約します。

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2) + \ln (x^{2})}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.3.4.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2 x^{2})}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.3.4.3

底の変換公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ を利用します。

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\log_{5} (2 x^{2})}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.3.4.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{2 x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.3.5

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{2 x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.3.5.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.3.5.2

${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x^{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 4.3.5.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x^{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 4.3.5.2.2.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$ は $f (x) = {(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

代数 例

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